$x^2-(p^4-16)y^2=p^2 \land x \mod (p^2-4) =2 \land x >0 \implies p | x,y$? $x^2-(p^4-16)y^2=p^2 \land x \mod (p^2-4) =2 \land x >0 \implies p | x,y$?

Question

Deseo tener una prueba de $$x^2-(p^4-16)y^2=p^2 \land x \mod (p^2-4) = 2 \land x>0 \implies p | x,y$$ para primos $p$.

Es fácil demostrar que, para un contraejemplo, $p$ debe ser $\equiv 1 \mod 4$: de la primera ecuación se sigue que si $p$ no divide a $x$, entonces $(\frac{-1}{p}) = 1$, por lo tanto $p \equiv 1 \mod 4$.

Pero no he sido capaz de demostrar que para $p \equiv 1 \mod 4$, hay soluciones solo con condiciones adicionales como se mencionó, donde $p$ divide a $x,y$. Un contraejemplo también sirve, por supuesto.

Ejemplos y esfuerzos hasta ahora, donde he dividido la búsqueda de un contraejemplo al buscar soluciones (siempre existentes) para $x^2-(p^4-16)y^2=1$, y soluciones para $x^2-(p^4-16)y^2=p^2$ donde $p$ no divide a $x,y$, y luego verificar si $x \mod (p^2-4) = 2$ es posible:

Cuando $x^2-(p^4-16)y^2=1$, entonces obviamente $x^2 \mod (p^2-4) \equiv 1$. Pero ¿cuáles son los valores (posibles) para $x \mod (p^2-4)$?

Al principio pensé que esto nunca puede ser $\pm 1$ para la solución más pequeña, pero de una de las respuestas parciales veo que estaba equivocado: para $p=29$ la solución más pequeña da $x \mod (p^2-4) =1$.

Ejemplo 1:

$p=5$, la solución más pequeña para $... = 1$ es $x=605695, y=24544$; $x \mod 21 \equiv 13 \equiv -8$. Por supuesto, para la siguiente solución, $x_2 \mod (p^2-4) \equiv x_1^2 \equiv 1$. Y la siguiente es nuevamente $\equiv -8$, y así sucesivamente.

Nota: $x^2 \equiv 1 \mod 21$ da $x \mod 21 \equiv \pm 1, \pm 8$.

Las soluciones para $...=p^2$ donde $p$ no divide a $x$, dan $x \mod 21 \equiv -2, -5$: $691^2-21 \cdot 28^2=25$; $691 \mod 21 = -2$, y $10957^2-21 \cdot 28^2=25$; $10957\mod 21 = -5$. La multiplicación por $1$ y $-8$ (como parte de construir todas las demás soluciones a partir de las encontradas) no lleva a una donde $x \mod 21 \equiv 2$ (a menos que $p | x,y$ por supuesto).

Ejemplo 2:

$p=13$, la solución más pequeña para $... = 1$ es $x=1714005085317895182559, y=10144883927724859112$; $x \mod 165 \equiv 109 \equiv -56$. La próxima solución nuevamente es $\equiv 1$, luego $\equiv -56$, etcétera.

Nota: $x^2 \equiv 1 \mod 165$ da $x \mod 165 \equiv \pm 1, \pm 34, \pm 56, \pm 76$.

Las soluciones para $...=p^2$ donde $p$ no divide a $x$, dan $x \mod 165 \equiv -53, -2$: desde las soluciones (146381426, 866405) y (649581787680043, 3844756292748). La multiplicación por $1$ y $-56$ (como parte de construir todas las demás soluciones a partir de las encontradas) no lleva a una donde $x \mod 21 \equiv 2$ (de nuevo, a menos que asumamos que $p | x,y$).

Answer 1

Según mis cálculos con PARI/GP, para el número primo $$p=29$$ la solución más pequeña es $$x=511417665685259113593784321$$ $$y=608113496300320416961344$$ y tenemos $$x\equiv 1\mod 837$$

Answer 2

Actualización: Se corrigió el valor incorrectamente pegado de $x_{641}$ y se agregaron algunas soluciones más.

Hay al menos cinco contraejemplos (ten en cuenta que mi búsqueda podría no haber sido exhaustiva, por lo que podrían existir algunos más pequeños). La tabla a continuación muestra los valores de $p$ y $x$ (ya que $y$ se puede calcular a partir de estos dos y incluirlo haría que la tabla fuera innecesariamente ancha):

$$ \begin{array}{|l|l|} \hline p & x \\ \hline 17 & 213008070740687 \\ 41 & 870879127656939928113787319 \\ 97 & 10083873782748617936772480341106949378297314021219796666165588607 \\ 641 & x_{641} \\ 937 & x_{937} \\ \hline \end{array} $$

El valor de $x$ correspondiente a $p=641$ tiene $579$ dígitos decimales: 427646534402961781027145789918837939285691392138714792282852459374612979324825695693669914355863700239209336810908209681356270416796716850320235289335620082377462249476768747074873232460544874434722275625388774658019745544230329560583157094083209098723570357314076815220914717483657351159560400598800355165245603911804839233691468502679117513759884589593468171785683356323829369616388184798149795910828329382910392838283091393939193939183840201827119301829188818188818485375230380820704838067930362661992988376805951747977341342123105794676799917874450015058939882919734980324750537060155504061516496791759049989307755510987369428664453094073643359

Y finalmente $x_{937}$ es el número de $193$ dígitos: 2766763201408142805699002603607382768361488866512185487519112560056602713684628027364427590616304623218846757823235445170446092862554381328586254664562804258792946140374215448195627785199577687

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Actualización: Después de jugar un poco más con el problema, mi búsqueda encontró contraejemplos adicionales. A diferencia de los anteriores, estos no corresponden a la solución más pequeña de la ecuación generalizada de Pell $x^2-(p^4-16)y^2=p^2$ sino más bien a una de las posteriores.

$p=337$ funciona con un $x$ de 2437 dígitos decimales: 201254887165719198143161199306963364002843888068261504864398550521570008390531971876288366436438205221078349646078980065297957422476566414901728719551768141670230731068349854145060088917747045211135576272080923982970036796470751848989240292258701945352083791663207590934212945806588327397655885071589826948341375136297970730252847286422029246002823842925239707971953213053534890253907014929565792367558064925458630771700829604555127773882889971909731173430675099701038561436478072699716584518226750621712103534635157933499713789994545351751298955323412381168870323327428416296553896970573775757907169005821532516864286810242170416492614549559093119470211277083393774002863632845365259389298858161288961430847591211366176818060573023872503094529224353509130974336616699994581663856481837091094481459432 Het 346665659

Para $p=521$, obtenemos un $x$ igual a `3713247976498568189340727102356887990784003862762132866042545819441263170558432336097020083159`

``.

$p=577$ funciona con un monstruo de $3034$ dígitos de $x$: 3219653972154272759909544964386498558008405505404843731977069375796752023063517490709340315127470496061703512277632328693155912789353654512769387902305769107894092988901668136720628864190758351049906865458079921182271444897369720580642994810828659129712950582366849983657491386018435097216461734427753559386833263024817732966074151021118517880634576938525218312287881434638787555138798021649823725621589172706811016918551396441806878453939433833500442994166637443313575452920753849163175514502519213682690444420148810292966711474936803941393134175512302151529355261087498124565603170904426031675444226825891186146379791607511946598291485394003546174436965144937546465728574052335372615840611986698573551860614624976366526348300018313376628824087960597765776446884085783835679775404842668199962181182815598575709909188322893129798917652243263744195890388383574908271946140307701401882364351952640361348997337315010690004836030840109153031263694289789963420832738618330631556318826132583080222048192977021633629205944434140712565011335923977964187300605481363268363500994605645737017494226880103357471778021208567489128772913354465732226264468420991211916929843859869974985937944940594288873292393575112098152015782516964102286560252054289859702790684669261293261622626613833826642731283055899891610573915578331301051662924905546283252197201544019636075717615915857539603522323144835236652425374386520292810144849027417400041430579522434341420942374228329094482787203589688057230863829873270635685847053993512216494831044424608312431106087612050324500878142084225599037700355273178137998722849509147779081516433870431126006401177375885132897767379200335846504670884914029217764466551825197017530550642915256070557599998401574770052806201

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