Qué grupo de la orden de 24 es este grupo?

Question

Tengo un grupo de $G$ que se presenta como

$$\langle g, m \mid m^{12} = 1, g^2 = 1, gm = m^5g\rangle$$

Es decir, $G$ es un semidirect producto $C_2 \rtimes C_{12}$, pero no es el habitual, semi-directa del producto.

La acción $C_2 \to Aut(C_{12})$ envía $$g \mapsto (m \mapsto gmg^{-1} = m^5)$$

Estoy enfadado! No es, obviamente, la costumbre diedro o dicyclic grupo. Si tratamos de poner en el formulario de la dicyclic grupo, con $\langle a, x \mid a^{12} = 1, x^2 = a^6, x^{-1}ax = a^{-1} \rangle$ encontramos que el establecimiento $a = g$, e $x = gm$ no satisface la última relación.

Cuál de los grupos familiares de la orden de 24 es este beastie?

Answer 1

Observe que $G$ es generado por $m^4$, $m^3$ y $g$.

También se $gm^4g^{-1}=m^8$, lo $\langle m^4,g\rangle\cong S_3$ (por ejemplo, identificar a $m^4$$(1,2,3)$$g$$(2,3)$ ).

Para $m^3$, $gm^3g^{-1}=m^3$, por lo $m^3\in Z(G)$.

Por lo tanto $G\cong S_3\times C_4$.

Answer 2

Aquí es una prueba de uso de Sylow de la teoría.

$C_2$ actos trivialmente en la copia de $C_4$ $C_{12}$ por lo que el Sylow $2$-subgrupo de $G$ es isomorfo a $C_2\times C_4$. También, $G$ tiene sólo un Sylow $3$-subgrupo (un Sylow $3$-subgrupo de $G$ es característico en $C_{12}$, lo que es normal en $G$). A continuación, $G\cong C_3\rtimes(C_2\times C_4)$ donde $C_4$ actos trivialmente en $C_3$ e donde: $C_2$ actos trivial en $C_3$. Este es isomorfo a $(C_3\rtimes C_2)\times C_4$ donde $C_2$ actos trivial en $C_3$. Por lo tanto, $G\cong S_3\times C_4$.

Answer 3

$\DeclareMathOperator{\Aut}{Aut} gm=m^5g\implies gmgm^7=1$.

En la BRECHA:

gap> f:=FreeGroup("m","g");m:=f.1;g:=f.2;
<free group on the generators [ m, g ]>
m
g
gap> rel5:=[m^12,g*g,g*m*g*m^7];G:=f/rel5;
[ m^12, g^2, (g*m)^2*m^6 ]
<fp group on the generators [ m, g ]>
gap> IdGroup(G);
[ 24, 5 ]
gap> IdGroup(AutomorphismGroup(G));
[ 24, 14 ]
gap> S:=SylowSubgroup(G,2);
Group(<fp, no generators known>)
gap> NrConjugacyClasses(S);
8
gap> IdGroup(AutomorphismGroup(S));
[ 8, 3 ]
gap> IdGroup(Center(G));
[ 4, 1 ]
gap> ch:=CharacterTable(G);
CharacterTable( <fp group of size 24 on the generators [ m, g ]> )
gap> Display(ch);
CT2

      2  3  3  3  3  2  3  3  3  2  3   2   2
      3  1  .  .  1  1  1  .  .  1  1   1   1

        1a 2a 4a 2b 3a 4b 2c 4c 6a 4d 12a 12b
     2P 1a 1a 2b 1a 3a 2b 1a 2b 3a 2b  6a  6a
     3P 1a 2a 4c 2b 1a 4d 2c 4a 2b 4b  4d  4b
     5P 1a 2a 4a 2b 3a 4b 2c 4c 6a 4d 12a 12b
     7P 1a 2a 4c 2b 3a 4d 2c 4a 6a 4b 12b 12a
    11P 1a 2a 4c 2b 3a 4d 2c 4a 6a 4b 12b 12a

X.1      1  1  1  1  1  1  1  1  1  1   1   1
X.2      1 -1 -1  1  1  1 -1 -1  1  1   1   1
X.3      1 -1  1  1  1 -1 -1  1  1 -1  -1  -1
X.4      1  1 -1  1  1 -1  1 -1  1 -1  -1  -1
X.5      1 -1  A -1  1 -A  1 -A -1  A  -A   A
X.6      1 -1 -A -1  1  A  1  A -1 -A   A  -A
X.7      1  1  A -1  1  A -1 -A -1 -A   A  -A
X.8      1  1 -A -1  1 -A -1  A -1  A  -A   A
X.9      2  .  .  2 -1 -2  .  . -1 -2   1   1
X.10     2  .  .  2 -1  2  .  . -1  2  -1  -1
X.11     2  .  . -2 -1  B  .  .  1 -B  -A   A
X.12     2  .  . -2 -1 -B  .  .  1  B   A  -A

A = -E(4)
  = -Sqrt(-1) = -i
B = -2*E(4)
  = -2*Sqrt(-1) = -2i

Por lo tanto su grupo $G$'s de Sylow 2-grupo $S$ es abelian con $|S|=|\Aut S|=8$, lo $C_2\times C_4$ como Robert Chamberlain dijo. Su centro es $C_4$. Este identifica como 24/9 en la notación de Thomas y de la Madera*. BRECHA de las tablas de caracteres parece coincidencia que en Thomas y Madera para sus 24/9. Cosa extraña, a pesar de que -- Thomas y Madera reivindicaciones $|\Aut G|=12$ pero BRECHA Id Aut $G$ [24,14].

*Un D Thomas y G V Madera. Grupo De Tablas. Pub Shiva 1980