La prueba de que las plazas son divisible por 3 cuando la suma de los mismos es

Question

En esta prueba, se escribe $3|a^2+b^2 \implies 3|a$, $3|b$. He intentado utilizar la misma prueba se utiliza para probar $3|a^2 \implies 3|a$ donde $3$ siendo el primer y escribir $a^2 = a\cdot a$ sugiere que $a$ es divisible por $3$. No estoy seguro de cómo probar la $3|a^2+b^2$ de los casos, sin embargo.

E9. No hay ninguna cuádruple de enteros positivos $(x, y, z, u)$ satisfacción $$x^2 + y^2 = 3(z^2 + u^2).$$

Solución. Supongamos que hay un cuádruple. Elegimos la solución con el menor $x^2 + y^2$. Deje $(a, b, c, d)$ ser la solución elegida. A continuación, $$a^2 + b^2 = 3(c^2 + d^2) \implies 3|a^2 + b^2 \implies 3|a, 3|b \implies a = 3a_1, b = 3b_1,\\a^2 + b^2 = 9(a^2_1 + b^2_1) = 3(c^2 + d^2) \implies c^2 + d^2 = 3(a^2_1 + b^2_1).$$

Hemos encontrado una nueva solución de $(c, d, a_1, b_1)$$c^2 + d^2 \lt a^2 + b^2$. Contradicción.

Hemos utilizado el hecho de que $3|a^2 + b^2 \implies 3|a, 3|b$. Mostrar esto a ti mismo. Vamos a volver a ejemplos similares al tratar infinito descenso.

Answer 1

Para un número $n$ hemos

$n\equiv 0,1,2 \mod 3$ , por lo que tenemos $$n^2\equiv 0,1\mod 3$$ For $$a^2+b^2$$ tenemos

$$a^2+b^2\equiv 0 \mod 3$$ The only possibility is $$a^2=b^2\equiv 0 \mod 3$$

Answer 2

Probablemente no sea la mejor solución, pero usted podría tratar de usar la congruencia.

Desde el 3 es un muy pequeño número, usted puede probar en cada caso para

$$a,b\equiv 0,1,2\pmod 3$$

Y para cada uno de comprobar si

$$a² + b² \equiv 0 \pmod 3 $$

Se le da (todos los resultados dado modulo 3):

$$ \begin{matrix} a & b & a^2+b² \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 2 \\ 2 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 2 \\ \end{de la matriz} $$

Como se puede ver:

$$a² + b² \equiv 0 \pmod 3 $$ iff $$a \equiv 0\pmod 3 \land b\equiv 0\pmod 3 $$

Answer 3

En $\mathbb{Z}/3$, $a^2=1$, o $a^2=0$, $b^2=1$ o $0$ implica que el $a^2+b^2=0$ si y sólo si $a^2=b^2=0$.