¿Existe alguna distinción entre estos productos: escalar, punto, interno?

Question

Espero que perdonen una pregunta de matemáticas que surge en contextos de física donde el lenguaje es flojo. Esta pregunta ha migrado desde Physics SE. Me estoy dando cuenta de que a veces no sé a qué tipo de producto se refiere un autor de física. Hay un producto que se puede definir en un espacio vectorial que toma dos vectores y devuelve un escalar. Hay un producto que toma un vector y un covector y devuelve un escalar.

¿Existe un lenguaje acordado para distinguir entre las tres palabras "producto escalar", "producto punto" y "producto interno"?

La mayoría de las veces puedo pasar por alto el lenguaje, ya que suele estar claro por el contexto. Pero no siempre.

Adición: Creo que todos estamos de acuerdo en que es un producto escalar es: un mapa que toma dos vectores y devuelve un escalar. Un espacio vectorial no tiene por qué tener un producto escalar. Para tener un producto escalar, un espacio vectorial necesita una métrica.

Y todos podemos estar de acuerdo en que hay un " contracción "Tomando un miembro de un espacio vectorial, y un miembro de su dual, y devolviendo un escalar, donde el dual puede ser considerado como una función lineal de valor escalar en el espacio vectorial. ¿Tiene este "producto" un nombre?

Lo que me gustaría saber: ¿cuáles son las definiciones de "producto punto" y "producto interior"?

Adición #2: Un comentarista (@Hunter) citó un enlace que señala que los autores de física no están todos de acuerdo en lo que es un producto interno. Se cita la siguiente cita: "Si se toma el producto interior de dos vectores, uno debe ser un vector contravariante y el otro un vector covariante. El producto interior de dos vectores covariantes o dos contravariantes no está definido". [Astronomía esférica, Robin Michael Green página 495.] Algunos dicen que el producto interno toma $V^*\times V$ en escalares, otros dicen $V \times V$ . (El consenso entre los físicos aquí es que "interno" = "escalar", es decir, el dominio para ambos es $V \times V$ ., y "punto" = "escalar", normalmente reservado para la geometría euclidiana).

Además, la mayoría de los textos de mecánica cuántica llaman $\langle\psi\mid\chi\rangle$ un producto interno, mientras que a mi entender se trata de un mapeo de un sujetador y un ket a escalares: una contracción de un vector con su dual. Entiendo que en este caso hay un isomorfismo, por lo que no hay ambigüedad, pero la terminología añade confusión.

Una cosa es cierta: algunos autores no nos dicen qué definición están utilizando, y a veces no está claro por el contexto.

Lea más: http://www.physicsforums.com/showthread.php?t=735158

Answer 1

El producto escalar, el producto interno y el producto punto deberían referirse a lo mismo, pero el último sólo se utiliza normalmente en el contexto del cálculo vectorial clásico o si su espacio vectorial es $\mathbb R^n$ .

La aplicación de un covector a un vector es un caso especial de contracción tensorial que se conoce como emparejamiento natural o de dualidad. En el lenguaje de las formas diferenciales, es también un caso especial del producto interior.

El álgebra geométrica es el álgebra de Clifford inducida por un producto interior. Como conjunto, es la misma que el álgebra exterior de multivectores, pero viene con un producto adicional: el "sin puntos".

Answer 2

Dejemos que $V$ sea un espacio vectorial complejo. Entonces el producto interno será un mapa: \begin{equation} \langle \;\; , \;\; \rangle : V \times V \to \mathbb{C} \end{equation} que es (1) simétrica conjugada en ambos argumentos: \begin{equation} \langle \mathbf{u} , \mathbf{v} \rangle = \overline{\langle \mathbf{v} , \mathbf{u} \rangle} \end{equation} (2) lineal en el segundo argumento: \begin{equation} \langle \mathbf{u}, a \mathbf{v} \rangle = a \langle \mathbf{u},\mathbf{v} \rangle \end{equation} donde $a$ es alguna constante, y: \begin{equation} \langle \mathbf{u} , \mathbf{v} + \mathbf{w} \rangle = \langle \mathbf{u} , \mathbf{v} \rangle + \langle \mathbf{u} , \mathbf{w} \rangle \end{equation} (3) el producto interno es positivo-definido: \begin{equation} \langle \mathbf{u} , \mathbf{u} \rangle \geq 0 \end{equation} y: \begin{equation} \langle \mathbf{u} , \mathbf{u} \rangle = 0 \iff \mathbf{u} = \mathbf{0} \end{equation} Es importante señalar que hay dos convenciones diferentes de la condición (2). La que he utilizado implica que \begin{equation} \langle \mathbf{u}, a \mathbf{v} \rangle = a \langle \mathbf{u},\mathbf{v} \rangle \implies \langle a \mathbf{u},\mathbf{v} \rangle = \overline{\langle \mathbf{v} , a \mathbf{u} \rangle} = \overline{a \langle \mathbf{v} , \mathbf{u} \rangle} = \overline{a} \langle \mathbf{u},\mathbf{v} \rangle \end{equation}

Por último, nótese que si los espacios vectoriales son reales, entonces la conjugación compleja no tiene efecto y por tanto el producto interior es lineal en el primer y segundo argumento. Si el espacio es $\mathbb{R}^n$ , entonces se convierte en el producto punto: \begin{equation} \langle \mathbf{u},\mathbf{v}\rangle = \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = \sum\limits_{i=1}^n u^i v^i \end{equation}

Edición: También debo mencionar que a menudo es útil debilitar las condiciones del producto interno. Es decir, dejar que el producto interior no sea positivo-definido como es el caso del producto interior en el espacio de Minkowski. Creo que este es el producto interior al que se refiere Hestenes.