Una confusión básica con respecto a la convergencia de la secuencia

Question

Creo $\lim_{n\to\infty}x_n -y_n =0$ no implica que las secuencias $\{x_n\}$ $\{y_n\}$ convergen en el mismo valor. Si uno de ellos convergen los otros convergen en el mismo valor debido a la desigualdad de triángulo. Es esto correcto ?

Answer 1

Considerar las secuencias de $x_n=y_n=n$. Claramente el límite tiene pero ni secuencia converge. Como usted dijo, sin embargo, si una secuencia converge a continuación, ambos convergen en el mismo valor.

Answer 2

Sí...Vamos a considerar las secuencias de $(x_n)$ $(y_n)$ donde$x_n=n$$y_n=n+\dfrac{1}{n}$. Aquí $\lim\limits_{n\to \infty}(x_n-y_n)=0$, pero las secuencias no convergen.

Answer 3

Sí, más específicamente, la Inversa de la Desigualdad del Triángulo.

$\text{lim}_{n \rightarrow \infty}(x_{n} - y_{n}) = 0$ implica $||x_{n} - y_{n}|| \rightarrow 0$ $| |x_{n}| - |y_{n}| | \leq |x_{n} - y_{n}| \rightarrow 0$ $\\ \therefore |\text{ } |x_{n}| - | y_{n}|\text{ } | \rightarrow 0$ $\therefore|x_{n}| - |y_{n}| \rightarrow 0$. Ya sabemos que para secuencias convergentes el valor absoluto de las secuencias convergen así. Podemos ver que el límite último se sostiene solamente si ambos $x_{n}$ $y_{n}$ convergen al mismo límite.