Pregunta sobre la demostración del Teorema de Goldstone (resumen de Kibble)

Question

Tengo una pregunta específica sobre la prueba de Kibble del teorema de Goldstone, que se encuentra en: http://www.scholarpedia.org/article/Englert-Brout-Higgs-Guralnik-Hagen-Kibble_mechanism#Proof_of_the_theorem

En esta demostración, sólo considera un campo escalar complejo con global $U(1)$ simetría.

Tengo problemas para entender la última línea de la prueba: "Si insertamos un conjunto completo de estados intermedios en (16), vemos que esto implica que debe haber estados que se acoplen al vacío a través de $\phi$ para lo cual $k_0\rightarrow0$ como $\mathbf{k}\rightarrow\mathbf{0}$ es decir, estados de partículas sin masa".

Sería estupendo si alguien pudiera ayudarme con los pasos que aquí se indican. He intentado insertar estados intermedios pero no sé cómo llegar a la conclusión final.

Esto es lo que he conseguido: $$f^{0}(k^0,\mathbf{k})=-i\int d^4xe^{ik\cdot x}\langle 0\rvert [j^{0}(x),\phi(0)]\lvert 0\rangle \\ = -i\int d^4xe^{ik\cdot x}\int\frac{d^3\mathbf{k'}}{(2\pi)^32 {k^{0}}'}(\langle0\rvert j^0(x)\lvert k'\rangle\langle k'\rvert\phi(0)\lvert 0\rangle-\langle0\rvert \phi(0)\lvert k'\rangle\langle k'\rvert j^0(x)\lvert 0\rangle)$$ , donde he insertado estados intermedios utilizando la normalización relativista. Sabemos que $f^0(k^0,\mathbf{0})\propto\delta(k^0)$ por lo que la contribución anterior se centra en $k^0=0$ como $\mathbf{k}\rightarrow\mathbf{0}$ . Pero espero que haya un $\delta^{(3)}(\mathbf{k}-\mathbf{k'})$ de algún tipo para deshacerse de la integral sobre k primado para que podamos llegar a alguna conclusión sobre k en lugar de k primado. Quizás $j^0(x)$ ¿es necesario ampliar el número de operadores?

Muchas gracias por su ayuda.

Answer 1

Siguiendo lo que Cosmas Zachos ha expuesto en sus comentarios,

$$f^0(k^0,\mathbf{0})=-i\int d^4xe^{ik^0t}\langle 0\rvert [j^0(x),\phi(0)]\lvert 0\rangle = g\delta(k^0),$$ para alguna constante g no nula. Para que esto se cumpla, necesitamos $\langle 0\rvert [j^0(x),\phi(0)]\lvert 0\rangle$ para ser independiente del tiempo. Inserción de estados intermedios, $$\langle 0\rvert [j^0(x),\phi(0)]\lvert 0\rangle = \sum_{k'}(\langle 0\rvert j^0(x)\lvert k'\rangle\langle k'\rvert\phi(0)\lvert 0\rangle - c.c.)$$ Ahora $$\langle 0\rvert j^0(x)\lvert k'\rangle=\langle 0\rvert e^{i\hat{P}\cdot x}j^0(0)e^{-i\hat{P}\cdot x}\lvert k'\rangle=\langle 0\rvert j^0(0)e^{-ik'\cdot x}\lvert k'\rangle,$$ donde $\sum_{k'}$ es una abreviatura de $\int\frac{d^3\mathbf{k'}}{(2\pi)^3 2k'^{0}}$ y $\hat{P}=(\hat{H},\hat{\mathbf{p}})$ ( $\hat{H}$ es el hamiltoniano y $\hat{\mathbf{p}}$ es el operador de momento total). Para que esto sea independiente del tiempo, los estados que contribuyen al elemento de la matriz deben tener $k'^0=0$ es decir, no tienen masa. Deben existir tales estados ya que $g\neq 0$ .