Surjection de normas

Question

Deje $V$ ser un infinito dimensional $\mathbb{C}$ (o $\mathbb{R}$) espacio vectorial. Supongamos que existe dos normas en $V$ tal que \begin{equation*} \| \cdot\|_1 \leq \| \cdot \|_2. \end{ecuación*}

Es cierto que siempre existe una surjection entre los dos diferentes terminaciones de $V$? Es decir, no siempre existe un continuo de $\mathbb{C}$-lineal surjection ($\mathbb{R}$-lineal surjection) \begin{equation*} \overline{V}^{\|\cdot \|_2} \twoheadrightarrow \overline{V}^{\|\cdot \|_1} \, ? \end{ecuación*}

El ejemplo particular que tengo en mente es al $G$ es un infinito discreto contables del grupo y $V = \mathbb{C}[G]$, el complejo de funciones con valores en $G$ con finito de apoyo. Entonces hay una surjection de la maxmial grupo $C^*$-álgebra y la reducción de la $C^*$-álgebra.

Answer 1

Sí. Debido a que usted considere el mapa de identidad $(V,\|\cdot\|_2)\longmapsto(V,\|\cdot\|_1)$. La desigualdad entre las normas de la muestra que se está acotada.

No es inmediatamente obvio para mí que es una surjection en la generalidad de su pregunta. Pero en el caso concreto que mencionas, porque una C$^*$-homomorphism ha cerrado la imagen (cuando el dominio es un C$^*$-álgebra).

Answer 2

En general, no existen tales surjection (la C*-el caso es muy especial en ese respecto).

De hecho, vamos a $V=c_{00}$ ser el espacio vectorial de finitely admite vectores. Para $(\xi_n)$ $V$ definir $\|(\xi_n)\|_1 = \sup_n |\xi_n|$ $\|(\xi_n)\|_2^p = \sum_{k=1}^\infty |\xi_k|^p$ fijos $p\in (1,\infty)$. Llamativamente, las respectivas terminaciones son $c_0$$\ell_p$. Por supuesto, $c_0$ no es un cociente de $\ell_p$ como el último espacio es el reflexivo.