Si $f,g$ integrable, a continuación, $f(x-y)g(y)$ integrable para casi todas las $x$

Question

Estoy tratando de demostrar que para dos funciones integrables $f,g: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ la función de $y \mapsto f(x-y)g(y)$ es integrable para casi todas las $x$. Mediante el uso de la titular de la desigualdad he reducido este a mostrar que si una función es integrable entonces también su plaza es integrable, pero después de navegar un poco he encontrado esto así que supongo que esto no lleva a ninguna parte. Todas las sugerencias son bienvenidas.

Answer 1

Sugerencia: considerar $\int\int |f(x-y)g(y)| \, dy \, dx$, y el uso del teorema de Tonelli para invertir el orden de integración. Si usted puede demostrar esta integral es finito, entonces $\int |f(x-y)g(y)| \, dy$ es finito para casi todos los $x$.