residuo de $\frac{1}{z^{2n}} \pi \cot(\pi z)$ en $z=0$

Question

Cómo calcular el residuo de $$\frac{1}{z^{2n}} \pi \cot(\pi z)$$ en $z=0$

Sé que la respuesta es $$(2\pi i)^{2n} \frac{B_{2n}}{(2n)!}$$ pero no sé cómo

Vi un responder utilizando " el operador de extracción de coeficientes "pero no sé nada al respecto

También he probado con $$ \sum_{m=0}^\infty B_{2m} (2\pi i)^{2m} \frac{z^{2m}}{(2m)!} = \pi z \cot(\pi z).$$

pero me enfrenté a muchos problemas

¿Cuál es su sugerencia para resolver el problema?

Answer 1

$\cot(z)$ puede expandirse como
$$ \cot (z) = \frac 1z - \frac z 3 + \dots (-1)^n \frac{B_{2n}(2z)^{2n}}{(2n)! z}\dots $$ Se deduce de $$\sum_{n=0}^\infty \frac{B_n z^n}{n!} = \frac{z}{e^z-1} = \frac{z}{2}\left( \coth \left ( \frac z2 \right ) - 1\right)$$

El coeficiente de $\displaystyle \frac 1 z$ en $\displaystyle \frac{1}{z^{2n}} \pi \cot(\pi z)$ sería $\displaystyle (-1)^n \frac{B_{2n}(2\pi)^{2n}}{(2n)! }$ que es su residuo.