Muestran que

Question

Problema. Deje $a$ $b$ ser de dos números enteros. Mostrar que $$\gcd(a+b,a-b)=1\iff\gcd(a^2+b^2,a^2-b^2)=1.$$

Estoy realmente ni idea de cómo abordar este problema. Primero vamos a tratar de $(\Rightarrow)$. Podemos escribir $$x(a+b)+y(a-b)=1.$$ Luego me cansé de usar la identidad de $a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$ pero no llevan a ninguna parte.

Answer 1

Deje $p$ ser un número primo distinto de $2$ supongamos que $p$ divide $a+b$ $p$ divide $a-b$, $p$ divide $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ $p$ divide $(a-b)^2+(a+b)^2=2(a^2+b^2)$ e lo $p$ divide $a^2+b^2$.

Si $a+b$ $a-b$ son incluso, $a$ $b$ tienen la misma paridad. Esto implica que $a^2$ $b^2$ tienen la misma paridad y $a^2+b^2, a^2-b^2$ son incluso. Por lo tanto $gcd(a^2+b^2,a^2-b^2)=1$ implica que el $gcd(a+b,a-b)=1$.

Deje $p$ ser un primo, supongamos que $p$ divide $a^2-b^2$ $p$ divide $a^2+b^2$, $p$ divide $(a^2-b^2)+(a^2+b^2)=2a^2$, se divide también a $2b^2$, lo $p$ divide $2a$$2b$.

Se divide $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$ si $p$ divide $a+b$, se divide $(a+b) -2b=a-b$ si $p$ divide $a-b$, se divide $(a-b)+2b=a+b$. Por lo tanto $p$ divide $a+b$ $p$ divide $a-b$, podemos deducir que $gcd(a+b,a-b)=1$ implica que el $gcd(a^2+b^2,a^2-b^2)=1$.

Answer 2

Tome $a-b=x$ $a+b=y$

Se nos da $\gcd ( x^2 +y^2 , xy) =1$

Tome $x=pm$ $y= pn$ $(m,n)=1$

Manipular la expresión y la obtención $p=1$, dando el resultado deseado.