Este receso me voy a aprender acerca de grupo de extensiones y el cohomological métodos para caracterizar esas extensiones, pero estoy un poco atascado en wraping mi cabeza alrededor de todos los nuevos conceptos (acabo de terminar un curso de iniciación al material de recubrimiento en las escuelas elementales de la teoría de números, estructuras algebraicas de los números enteros, algunos conceptos básicos de álgebra abstracta - en lo concerniente a sólo finita y abelian grupos -, con sugerencias sobre la teoría analítica de números y más profundo álgebra abstracta). He leído el inicio de la Serre de 1978 de la conferencias de Grupos de Finis como una motivación, y luego se trasladó a Bourbaki del Álgebra.
Bourbaki enciclopedia no era difícil de seguir hasta el capítulo 6, donde las extensiones comenzó apareciendo. La caracterización de una extensión era comprensible, junto con su demostración de que el producto directo y la externa directa con los productos de extensiones y sus caracterizaciones. Pero cuando él se mudó a la (omissed plazo interno) semidirect producto, me sentí seguro en mi comprensión del tema. Aquí es lo que tengo:
Bourbaki la definición externa semidirect producto: Si $G$ $F$ son los dos grupos y existe un homomorphism $\pi$ $G$ a $\text{Aut}(F)$ - (el automorphism grupo de F, que a mi entender claramente define una acción de $G$$F$, a través del mapa de $\phi :G\times F \rightarrow F$ donde $\phi(g, f) \mapsto \pi(g)(f)$) - entonces el conjunto $F \times G$ con la composición: $$((f, g), (f',g')) \mapsto (f\pi(g)(f'), gg')$$ es una extensión de G por F (escrito $F \times_\pi G$). Con esta propuesta, podemos describir todos los semidirect extensiones de producto de dos grupos de $F$ $G$ observando la posible homomorphisms de la automorphism grupo.
Ahora la pregunta de verdad. Bourbaki definición, semidirect producto: $G$ es un semidirect producto de los subgrupos $H$ $K$ si $H$ es un subgrupo normal, si $K\cap H = \{e\}$$H.K = G$. En primer lugar, desde mi comprensión de la declaración de $H.K = G$ se refiere a la propiedad de complementar los subgrupos, es decir, cada elemento de a $g$ $G$ puede ser el único escrito como $hk$ algunos $h \in H$$k \in K$. Eso significa que $K$ tiene uno y sólo un representante de cada órbita de la relación de equivalencia definida por $H$, y eso significa que $K$ es isomorfo a $G/H$. Ahora, Bourbaki continúa: "Vamos a $\pi$ ser el funcionamiento de $K$ $H$ por el interior de automorfismos de a $G$. La asignación de $(h, k) \mapsto hk$ es un isomorfismo de $H \times_\pi K$ a $G$".
No estoy seguro de entender que el pasado $\pi$ operación. Si se define un externo semidirect producto, debe ser un homomorphism de $K$ a la automorphism grupo de $H$, por lo que se debe definir una acción de $K$$H$. Cuando menciona interior de automorfismos de a $G$, debido a $H$ es normal cada interior automorphism de $G$ es un automorphism de $H$, y supongo que lo contrario también es válido, por lo que ¿por qué no $\pi$ ser definido en términos de que el grupo de automorfismos de a $H$? ¿Sería diferente? ¿El conjunto de interior de automorfismos de a $G$ y automorfismos de a $H$ diferencian?
