Si un grupo $G$ es generado por $n$ elementos, ¿puede cada subgrupo de $G$ generado por $\leq n$ ¿elementos?

Question

Me pregunto si la afirmación del título es cierta, entonces si:

$$G=\langle g_1,g_2,\ldots,g_n\rangle$$ significa que podemos escribir cada subgrupo $H$ de $G$ como $$H=\langle h_1,h_2,\ldots,h_m\rangle$$ para algunos $h_i\in G$ y $m\leq n$ .

Lo que estoy pensando hasta ahora: si $n=1$ entonces: $$H=\langle h_1,h_2\rangle=\langle g^a,g^b\rangle=\langle g^{\gcd(a,b)}\rangle$$ Por tanto, la afirmación es cierta para $n=1$ .

Sin embargo, para $n>1$ Tengo problemas para probarlo o refutarlo. Creo que se reduce a algunas cosas de teoría de números que desconozco. Por ejemplo para el caso $n=2$ :

Diga $|g_1|=n, |g_2|=m$

$$H=\langle h_1,h_2,h_3\rangle =\langle g_1^{a_1} g_2^{a_2}, g_1^{b_1} g_2^{b_2}, g_1^{c_1} g_2^{c_2}\rangle$$ Así que creo que demostrar que esto puede ser generado por sólo $2$ de los elementos se reduce a demostrar que hay $x,y$ s.t.

$$xa_1+yb_1\equiv c_1\bmod n$$

$$xa_2+yb_2\equiv c_2\bmod m$$ Sin embargo, desconozco las condiciones que deben cumplirse para que este sistema tenga soluciones.

Por cierto, no estoy seguro/dado que esto sea realmente cierto.

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edit: por cierto, creo que al escribir ese sistema asumí accidentalmente que el grupo era abeliano. Ahora me interesa el resultado tanto para grupos abelianos como no abelianos

Answer 1

La afirmación es cierta para los grupos abelianos: todo grupo abeliano generado por $n$ elementos es un cociente de $\mathbb{Z}^n$ y todo subgrupo de $\mathbb{Z}^n$ es libre generado como máximo por $n$ elementos. Esto se puede encontrar en cualquier texto de teoría elemental de grupos.

Es falso para grupos no abelianos. Por ejemplo, el grupo de permutaciones $S_n$ está generado por dos elementos: el ciclo $(12\ldots n)$ y la trasposición $(12)$ . Todo grupo finito $G$ es un subgrupo de algún $S_n$ pero no todo grupo finito está generado por dos elementos

Answer 2

Tomemos el grupo libre generado por dos símbolos $a,b$ es decir, el conjunto de todas las cadenas formadas por $a,b,a^{-1},b^{-1}$ donde se anulan subcadenas como $aa^{-1}$ al expresar o multiplicar. Esto se genera mediante $a,b$ (suponiendo que se permitan los inversos al formar el grupo). Sin embargo, se pueden encontrar subgrupos que requieran un número arbitrario de generadores o incluso infinitos para generarlos. Por ejemplo, el subgrupo generado por $a^nb$ para todos $n \geq 1$ requiere infinitos generadores.

Answer 3

Esto no es cierto para los grupos simples finitos (no abelianos) y sus subgrupos maximales.

Se sabe que todo grupo simple finito (no abeliano) puede ser generado por $2$ elementos. (Esto fue demostrado por varias personas, por ejemplo Miller, Steinberg, Aschbacher y Guralnick).

En el documento Generación y generación aleatoria: de los grupos simples a los subgrupos maximales de Burness, Liebeck y Shalev los autores demuestran lo siguiente:

Teorema. Todo subgrupo maximal de un grupo simple finito es $4$ -generador.

Esto significa que cada subgrupo maximal está generado como máximo por $4$ elementos. Para responder a tu pregunta, los autores comentan que hay infinitos ejemplos en los que un subgrupo maximal necesita al menos $4$ elementos a generar. Véanse los ejemplos explícitos en el documento.