La densidad media de los ceros no triviales de la de Riemann zeta función

Question

Como parte de mi MSc estoy revisando un papel. El documento es una revisión de la distribución estadística de los desplegada ceros (ver más abajo) de la Reimann funcional de la ecuación. En el papel hay una frase:

La densidad media de la no-cero-trivial ceros aumenta logarítmicamente con la altura de la $t$ hasta la línea crítica. En concreto, la definición desplegada cerospor $$ w_n = t_n \frac{1}{2\pi}\log{\frac{t_n}{2\pi}} $$ se sabe que $$ \lim_{W\rightarrow \infty}\frac{1}{W}\#\{w_n < W\} = 1 $$

¿Qué hace la negrita por encima de la media? Más específicamente, ¿cómo sabe eso?

Aquí se supone que la hipótesis de Riemann es cierto. Es decir, $\zeta{(1/2 + it)} = 0$ tiene soluciones no triviales sólo al $t=t_n \in \mathbb{R}$.

No estoy seguro de si soy lo suficientemente claro, por favor especificar para mayor claridad si yo no estoy.

Por favor, tenga en cuenta que estoy a punto de empezar mi primer módulo en la teoría analítica de números, así que por favor tono de cualquier ayuda en consecuencia.

Answer 1

La primera frase de la cita, debe leer "La densidad media de la no-trivial ceros aumenta logarítmicamente con la altura de la $t$ hasta la línea crítica". Lo que significa es definido exactamente en la segunda frase. Intuitivamente esto significa que, si vamos a "estirar" la línea crítica, con el grado de estiramiento aumentando de forma logarítmica como debemos proceder de la línea, hemos de separar a los ceros, de modo que la distancia media entre ellas se mantiene constante a lo largo de la línea. Sin este estiramiento, los ceros, que tienden a concentrarse más bien como vamos a lo largo de la línea, con el general de la agrupación de densidad creciente de forma logarítmica. La forma continua del factor de expansión puede ser establecido como$$\dfrac{1}{2\pi}\ln\dfrac{t}{2\pi}$$at height $t$.