Deje $X$ ser un colector y $R\subset X\times X$ ser una relación de equivalencia. Deje $X/R$ el conjunto de clases de equivalencia y deje $p:X\rightarrow X/R$ ser la proyección. Dar $X/R$ el cociente de la topología. Se sabe que hay más de un colector de estructura en $X/R$ tal que $p$ es una inmersión. En la página 92, de Serre del libro "Lie y álgebras de Lie grupos" Springer LNM 1500, hay un criterio para $X/R$ a un colector, que es el nombre de Godement y dice lo siguiente. El cociente $X/R$ es un colector si y sólo si
1, $R$ es un sub colector de $X\times X$ (lo que significa que $R\rightarrow X\times X$ es un cerrado de incrustación), y
2, el mapa de proyección $pr_2:R\rightarrow X$ es una inmersión.
Este criterio se ve muy poderosa ya que le da un iff condición. Por otro lado, también funciona para no arquimedianos los campos locales. En el habitual de libros de texto en los colectores, no es un cociente teorema que requiere de la acción es libre y adecuado. La libertad parece demasiado restrictiva. Por ejemplo, el sistema modular de la curva de $H/\textrm{SL}_2(\textbf{Z})$ existe, donde $H$ es la mitad superior del plano, pero la acción de la $\textrm{SL}_2(\textbf{Z})$ no es libre.
Desde este criterio no es muy común en el libro de texto estándar sobre los colectores, realmente me gustaría ver cómo se aplica este criterio para resolver problemas. ¿Alguien sabe de referencia que contiene una gran cantidad de ejemplos sobre la aplicación de este criterio?
Yo también estoy muy interesado en el siguiente caso especial. Deje $G$ ser un compacto de Lie del grupo que actúa en un colector $X$. Sabemos que existe una $G$-invariante abrir subconjunto $X_o\subset X$ tal que $X-X_o$ tiene menor dimensión y $X_o/G$ existe como un colector? Este algo es el estándar de la Godement del criterio? ¿Qué pasará cuando el campo no es de arquímedes?
En mi otro post, Cociente de $\textrm{GL}(2,\textbf{R})$ por la acción conjugada de $\textrm{SO}(2,\textbf{R})$ , le pregunté si el cociente $GL_2(R)/SO_2(R)$ existe como un colector donde $SO_2(R)$ actúa en $GL_2(R)$ por conjugación. Tengo una buena respuesta de @YCor. Pero también me gustaría saber si es posible resolver el problema a través de Godement del criterio.
El Godement del criterio también es mencionada en una respuesta de esta pregunta Bajo qué condiciones el cociente del espacio de un colector el colector?
Gracias de antemano.
