De primer orden de la ecuación diferencial no constante con coeficientes de

Question

Tengo el siguiente sistema :

$$\begin{cases}(t^2+1)x'(t)=tx+y+2t^2+1\\(t^2+1)y'(t)=-x+ty+3t\end{cases}$$

¿Cómo puede ser resuelto ?

---

Lo que he probado hasta ahora :

• polinomios de primero, de segundo grado como soluciones - no trabajo
• Se puede notar que si utilizamos $X=\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix},A=\begin{bmatrix}t&1\\-1&t\end{bmatrix},B=\begin{bmatrix}2t^2-1\\3t\end{bmatrix}$, a continuación, el sistema se vuelve $(t^2+1)X'=AX+B$, e $t^2+1=\det A$. Estoy bastante seguro de que este último resultado se supone que es para ayudar, pero no he sido capaz de encontrar una manera de utilizarla.

Answer 1

Se nos da:

$$\begin{cases} (t^2+1)x'(t)=tx+y+2t^2+1\\ (t^2+1)y'(t)=-x+ty+3t\end{cases}$$

A partir de la primera ecuación $(t^2+1)x'(t)=tx+y+2t^2+1$, tenemos:

$$\tag 1 y = t^2 x' + x' - t x - 2 t^2 -1$$

Tomando la derivada de la $(1)$, se obtiene:

$$\tag 2 y' = t^2 x'' + x'' + t x' -x - 4 t$$

Sustituyendo $(1)$ $(2)$ en el original de la segunda ecuación se obtiene:

$$\tag 3 (t^2+1)((t^2+1)x'' + t x' - x - 4 t) = -x +t((t^2+1) x' - t x - 2 t^2 -1) + 3 t$$

Simplificando $(3)$, se obtiene:

$$\tag 4 x'' = 2 \dfrac{t^3}{(t^2+1)^2} + 6 \dfrac{t}{(t^2+1)^2}$$

La integración de $(4)$ dos veces se obtiene:

$$x(t) = c_1 + c_2 t + t \ln(t^2 + 1)$$

Ahora podemos utilizar este resultado y $(1)$ yield:

$$y(t) = -c_1 t + c_2 -1 + \ln(t^2+1)$$