Ejemplos de falta de escisión para homotopy grupos ($\pi_k(X, A)$ no $\pi_k(X/A, *)$)

Question

Deje $A$ ser un subcomplejo de CW-complejo de $X$. La escisión axioma de homología implica que $H_i(X, A)\cong H_i(X/A, *)$, y es ampliamente conocido que homotopy grupos no tienen esta propiedad. Sin embargo, cumplen una significativamente más débil Blakers-Massey teorema. Una de sus consecuencias es que cuando $A$ $n$- conectado y la inclusión $A\to X$ es un isomorfismo en la primera $s$ homotopy grupos, $\pi_k(X, A) \cong \pi_k(X/A, *)$$k < s + n - 1$.

Por lo tanto, para idear un ejemplo donde $\pi_k(X, A) \not\cong \pi_k(X/A, *)$ es necesario tomar lo suficientemente grande como $k$, y el cálculo de ambos lados se vuelve difícil. El documento original de Blakers y Massey afirma que no hay ejemplos sencillos, pero yo no era capaz de hacer hasta yo. ¿Cuáles son algunos ejemplos sencillos de los pares de $(X, A)$ $(X/A, *)$ con diferentes homotopy grupos? Preferiblemente con tanto $A$ $X$ simplemente conectado.

Answer 1

Bueno, pensé que algunos ejemplos. La más sencilla es probablemente la $S^2 \hookrightarrow S^3$ como ecuador. Aquí $\pi_4(S^3, S^2) \cong \mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ por la secuencia exacta de un par (la inclusión es, obviamente, null homotópica, por lo que los mapas de $\pi_k(S^2)\to\pi_k(S^3)$ son todos cero). Por otro lado, el cociente es una cuña de dos de tres esferas, y $\pi_4(S^3 \vee S^3)$ es igual a $\pi_4(S^3 \times S^3) = \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ desde $\pi_4$ sólo depende de la 5-esqueleto, mientras que $S^3 \times S^3$ $S^3\vee S^3$ con una de 6 celdas adjuntas.

Esto también es cierto para $S^1\hookrightarrow S^2$, aunque se necesita más de la maquinaria. $\pi_3(S^2, S^1)$ $\mathbb{Z}^2$ por la secuencia exacta de una pareja. Por otro lado, $\pi_3(S^2 \vee S^2) \cong \mathbb{Z}^3$ utilizando el estándar truco: fibra de $S^2 \vee S^2 \to K(\mathbb{Z}, 2)\times K(\mathbb{Z}, 2)$ $H^3 \cong \mathbb{Z}^3$ por Serre espectrales de la secuencia.

Answer 2

Dejar caer la preferencia por $X,A$ a ser simplemente conectado, a continuación, un factor implicado es la influencia del grupo fundamental. Así que supongamos que disponemos de un espacio $X$ que es la unión de dos subespacios $A,B$ y deje $Z=A \cap B$ contienen un punto de base $a$. Supongamos que todos estos espacios están ruta de acceso conectado y de que el par $(B,Z)$$(n-1)$, $n \geqslant 3$ . Deje $\lambda:\pi_1(Z) \to \pi_1(A)$ ser el de morfismos de grupos inducida por la inclusión. A continuación, el módulo de $\pi_n(X,A)$ es isomorfo a la $\pi_1(A)$-módulo inducida a partir de la $\pi_1(Z)$-módulo de $\pi_n(B,Z)$ por los morfismos $\lambda$. Así que uno puede escribir $$ \pi_n(X,A) \cong \lambda_* \pi_n(B,Z).$$ Este resultado se demostró por primera vez en

R. Brown y P. J. Higgins, "Colimit teoremas para la relación homotopy grupos", J. Pure Appl. Álgebra 22 (1981) 11-41.

Implica la Relación Hurewicz Teorema. Por ejemplo, lo que implica que si $A \to X$ es un cofibration, y $(X,A)$ $(n-1)$- conectado, a continuación, $\pi_n(X/A)$ se obtiene a partir de la $\pi_1(A)$-módulo de $\pi_n(X,A)$ al excluir la acción de la $\pi_1(A)$.

Todos los detalles están también en el libro Nonabelian Topología Algebraica.

Sin embargo, si usted quiere tratar con el simplemente se conecta caso, voy a escribir sobre esto más adelante.