Resumen: en las Pruebas realizadas con las mismas limitaciones anteriores no muestran ninguna solución para $n=3$ $p=41$ o $p=43$. A continuación, el original de la conjetura no es válido "como es".
Sin embargo, si $n$ es tomada como una variable libre, tal vez siempre podemos encontrar soluciones. Por ejemplo, el $(a,p,n) \in \{ (49,41,5) , (49,43,5) , (1629,43,7) , (679,41,7) \}$ satisfacen la desigualdad:
$$ a+p^n \gt \operatorname{rad}(a p^n (a+p^n)) $$
Discusión: El no resueltos de la conjetura ABC de los estados :
ABC Conjetura. Para cada $\varepsilon \gt 0$, sólo existe un número finito de triples $(A, B, C)$ de coprime enteros positivos con $A + B = C$,
que:
$$ C \gt \operatorname{rad}(ABC)^{1+\varepsilon} $$
La forma original de la Pregunta conjeturas de que un número infinito de "cerca de contra-ejemplos" se puede encontrar: Para cualquier potencia principal $p^n$, $p$ una extraña primer y extraño $n \ge 3$ existe $0 \lt a \lt p^n$ y coprime a $p$ tal forma que:
$$ a+p^n \gt \operatorname{rad}(ap^n(a+p^n))$$
Reconocemos que estas asignaciones:
$$ A=a , B= p^n, C = a+p^n $$
tendría el actual conjetura contradicen el ABC de la conjetura de si $\varepsilon = 0$ (que por supuesto no está permitido) porque se afirma infinitamente a menudo (al menos una vez para cada impar prime $p$ y cada uno de los impares $n\ge 3$):
$$ C \gt \operatorname{rad}(ABC) $$
Por lo tanto, con $\varepsilon=0$, nos permitimos decir "cerca de contra-ejemplo". Sin embargo otras construcciones que logran $C$ arbitrariamente un gran múltiplo de $\operatorname{rad}(ABC)$ son ya conocidos (véase la Sección Ejemplos de triples, con pequeñas radical para más detalles), aunque tal vez no de la forma exacta que se describe en la Pregunta.
Desde $a$ puede ser cualquier entero positivo coprime a $p$ menos de $p^n$, es decir, cualquiera de $p^{n-1}(p-1)$ opciones, hay cada vez más oportunidades para la propuesta de la desigualdad a ser satisfecho como $p^n$ crece. Vamos a dar una heurística argumento de por qué no es difícil encontrar este tipo de soluciones.
Si $A=a$ $B=p^n$ son coprime, automáticamente $C=a+p^n$ es coprime tanto $A,B$. Por lo tanto $\operatorname{rad}(ABC) = \operatorname{rad}(A)\cdot \operatorname{rad}(B)\cdot \operatorname{rad}(C)$, e $\operatorname{rad}(B)=p$. Lo que queremos es organizar:
$$ \frac{a+p^n}{\operatorname{rad}(a+p^n)} \gt \operatorname{rad}(a)\cdot p $$
Para hacer el lado izquierdo "grande", queremos $a+p^n$ a contener el cuadrado de un gran factor o un alto poder de un pequeño factor. De nuevo, tenemos $p^{n-1}(p-1)$ $a$ a elegir.
Para hacer el lado derecho "poco", podemos tratar de la elección de $a$ a ser un muy suave número, que tiene muchos pequeños redundante factores primos. Por ejemplo, si $a=2^k$,$\operatorname{rad}(a) = 2$. El multiplicador $\operatorname{rad}(p^n) = p$ es fijo para el propósito de nuestra construcción, pero desde $n \gt 1$, sabemos que, al menos,$p \lt p^n$.
Desde que el OP ha añadido la restricción $a \lt p^n$, nos limitamos a elegir coprime residuos de $a\bmod p^n$ hasta que dimos con algunos $a+p^n$ que contiene un cuadrado del factor de $s^2$ $s$ mayor que $\operatorname{rad}(a)\cdot p$. Entonces podemos satisfacer la actual conjetura de la desigualdad, ya que:
$$ s^2 \mid a+p^n \implies \frac{a+p^n}{\operatorname{rad}(a+p^n)} \ge s \gt \operatorname{rad}(a)\cdot p $$
Nota sobre el algoritmo utilizado para la comprobación de :
Es un algoritmo de fuerza bruta. Para cada una de las $B$ y un máximo de $n$, se calcula el $B^n$. Conscientes de desbordamiento, se repite en Una de las 1 a B , calcula el radical de abc y comprueba la desigualdad. ( Fuente disponible bajo petición , un poco grande para el formato de la página, ya que contiene una lista muy larga de números primos )
Pruebas y salida de ejemplo :
$5 + 28561 = 28566$ , $B = 13$ , $\text{rad}(4079367630) = 8970$ , $n = 4$ | $xto = 2,3,5,13,23$
$B=17$ , $break=9321961974893840$ -> desbordamiento no se encontró ninguna solución
$1 + 6859 = 6860$ , $B = 19$ , $\text{rad} rad(47052740) = 1330$ , $n = 3$ | $xto = 2,5,7,19$
