Acabo de encontrar algo en mi lectura de Peskin y Schroeder que afirma que debido a que una función, en este caso particular una función de correlación de dos puntos, es invariante a nivel de traducción, tiene automáticamente una representación espacial de momento diagonal. No estoy viendo esta relación, y esperaba que alguien pudiera aclararme esto!
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Esto es sólo una propiedad de las transformaciones de Fourier. Si la función de correlación es invariante translacional, entonces, por definición, la representación del espacio de posición $D(x,y)$ se transforma como $D(x+a,y+a) = D(x,y)$ para cualquier constante $a$ . Así $D(x,y) = D(x-y,0)$ y por lo tanto el correlador depende sólo de la diferencia $x-y$ . Para simplificar, definiremos $D(x-y) = D(x-y,0)$ . Fourier transformó esto sobre ambos $x$ y $y$ y lo encontrarás en diagonal en el espacio de impulso. Por ejemplo, en una dimensión, \begin {eqnarray} \tilde (p,q) y \sim & \int dx dy e^{ipx + iqy} D(x-y) \\ &=& \int du dy e^{ipu} e^{i(p+q)y} D(u) \\ & \sim & \tilde (p) \delta (p+q) \end {eqnarray}
donde estoy descuidando el seguimiento de las constantes. El resultado es diagonal en el espacio de impulso en virtud de la función delta, reforzando $q=-p$ .
user35952
Puntos
11
Supongo que lo que hay que señalar aquí es el hecho de que, la función de correlación (operador), conmuta con el operador de impulso, ya que
$$ [D,\text e^{ixp}] = 0 \implies [D,p] = 0 $$
Teniendo esto en cuenta, uno puede recordar que cualquier operador representado en su propio espacio propio es diagonal debe responder a su pregunta.
PD : No estoy completamente seguro de la pregunta (respuesta), así que esto es sólo mi perspectiva.
rocketmonkeys
Puntos
258
El hecho de que el sistema sea invariable desde el punto de vista de la traducción implica que el operador de traducción se desplaza con el Hamiltoniano. Esto implica que tienen una base de estados propios mutuos. Dado que el operador de impulso genera las traducciones, es decir. $$T =e^{-\imath x p}$$ un estado es un eigenstate del operador de traducción si y sólo si es un eigenstate del operador de impulso.
Gennaro Tedesco
Puntos
2257
Para ampliar la respuesta dada por @By Symmetry, definamos la función de dos puntos como $$ f(x_1,x_2)=\langle\Omega|\, \phi(x_1)\phi(x_2)\,|\Omega\rangle. $$ Para que lo anterior sea traducido de manera invariable, se debe requerir que $$ \langle\Omega|\,\left[P, \phi(x_1)\phi(x_2)\right]\,|\Omega\rangle = 0 $$ donde $P$ es el generador de las traducciones como se define como un grupo unitario de un parámetro. Esto no requiere en general que el conmutador sea siempre cero (sólo requiere que lo sea en el estado de vacío); sin embargo, si se quiere que esta relación se mantenga en todos los estados $|\psi\rangle$ entonces el conmutador siendo siempre cero implica que $P$ y $\phi(x_1)\phi(x_2)$ tienen un conjunto de eigenstates comunes donde podrían ser diagonalizados simultáneamente.
