Los tensores, los índices de la matriz y la notación - hay una convención común?

Question

Para un tensor nombre de T con dos índices, hay cuatro posibilidades: $T_{ij}$ , $T_i^{\ j}$, $T^i{\ _j}$ y $T^{ij}$. Hay una convención común en cuanto a cómo estos tensores se representa como matrices, es decir, donde las entradas iría? Es la izquierda-a la derecha de la orden de los índices que determina que la matriz de entrada que se quiere decir, o algún otro convenio? ¿Y si el orden de los índices en una mezcla de tensor no está indicado en todos (como en $T_i^j$)? Es cierto que, por ejemplo, el componente con i=2 y j=3 sería pasar a la segunda fila y la tercera columna, en todos los casos anteriores? Los libros se acaba de decir "$F_{μν}$ = [matriz]", y usted no sabe cual es cual.

A continuación es un ejemplo de lo que es en sí mismo contradictorio. Para transmitir la idea de que F es antisimétrica, se utilizan dos diferentes convenios en la misma línea - aquí está a la orden del griego subíndices que determina el orden.

$$ F_{\mu \nu} = \left( \begin{array}{cccc} 0 & -E_1 & -E_2 & -E_3 \\ E_1 & 0 & B_3 & -B_2 \\ E_2 & -B_3 & 0 & B_1 \\ E_3 & B_2 & -B_1 & 0 \end{array} \right) = -F_{\nu \mu} $$

Answer 1

En mi experiencia, la lectura de los índices de izquierda a derecha y de arriba a abajo, el primer índice es la fila y el segundo la columna.

La captura de pantalla de Carroll no tiene que ser contradictorios (a pesar de que definitivamente confuso/no hace sentido riguroso). Es de imaginarse que él omite un poco "$_{\mu \nu}$" en la matriz:

$$F_{\mu \nu}=\Bigg( \cdots \Bigg)_{\mu \nu}=-F_{\nu \mu}$$

ahora es un verdadero número de la ecuación.

Answer 2

Su ejemplo es un valor atípico, en mi experiencia (personalmente, yo habría escrito $(F_{\mu\nu})^T$ en lugar de $F_{\nu\mu}$). Casi siempre, es el orden de los índices que determina fila frente de la columna. Si alguien escribe $T^i_j$, mientras que técnicamente no hay ninguna manera de saber, yo diría que sería mucho menos confuso para hacer la parte superior del índice de la etiqueta de las filas y el índice inferior de la etiqueta de las columnas. Esto es debido a una mezcla de tensor puede ser considerada como una transformación lineal entre los vectores:

$$v^i = T^i_j v^j$$

Si queremos expresar esta transformación lineal como la multiplicación de una matriz por un vector, entonces $j$ debe etiquetar las columnas, ya que es el índice que está siendo contratado con el vector $v^j$.

La línea de fondo, sin embargo, es que el 99% de las veces no será una izquierda/índice de fila y un derecho/índice de columna. Representa un tensor como una matriz con cualquier otro convenio es confuso y no se debe hacer, a menos que el autor tiene una muy fuerte razón para hacerlo.