Todos los textos que he leído en conjunto teórico de la independencia de las pruebas de considerar distintos tipos de construcciones por separado, como Boolean valores de los modelos (equivalentemente, obligando a más de posets), permutación modelos, simétrica y modelos. Sin embargo, el topos de la teoría de la análogos de estas nociones—es decir, los topoi de poleas en las configuraciones regionales, acciones continuas de grupos, y combinaciones de los dos—son casos especiales de una noción, a saber, el topos de poleas en un sitio. Hay un lugar donde se encuentra una construcción directa, en el mundo clásico de pertenencia basado en la teoría de conjuntos, de un "forzar modelo" en relación a un sitio arbitrario?
Respuestas
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Al mejor de mi conocimiento, esto nunca ha sido "oficialmente" que se describe en el conjunto teórico de la literatura. Esto ha sido descrito por Blass y Scedrov en Freyd modelos para la independencia del axioma de elección (Mem. Amer. De matemáticas. Soc. 79, 1989). (Por supuesto que es implícita y a veces explícita en los topoi de la literatura, por ejemplo Mac Lane y Moerdijk hacer un poco justo de la traducción en Gavillas en la Geometría y la Lógica.) Sin duda hay un puñado de teóricos de la que son conscientes de la generalización y de su potencial, pero sólo he visto un par de casos de crossover. En mi humilde opinión, la falta de estos cruces es un grave problema (para ambas partes). Para ser justos, hay algunas importantes obstáculos más allá de las obvias diferencias lingüísticas. El más importante es el hecho de que la clásica teoría de conjuntos es una teoría clásica, lo que significa que la doble negación de la topología en un sitio es, en cierta medida, el único que tiene sentido para el uso clásico de la teoría de conjuntos. Por otra parte, aunque muy importante, la doble negación de la topología no es a menudo un punto focal en el topos de la teoría.
Gracias a los comentarios de Joel Hamkins, parece que existe una mayor obstrucción grave. En vista de los resultados principales de Grigorieff en Intermedio submodelos y extensiones genéricas en la teoría de conjuntos, Ann. De matemáticas. (2) 101 (1975), parece que el forzamiento de la posets, hasta equivalencia, precisamente los sitios pequeños (con la doble negación de la topología) que preservar el axioma de elección en la extensión genérica.
Randy Proctor
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Está usted familiarizado con este trabajo : Relación de primer orden conjunto de teorías y de primaria toposes de Awodey,Butz,Simpson y Streicher. Yo no he leído en detalle, pero lo que realmente parece proporcionar una maquinaria que responder a su pregunta.
También me gustaría añadir que si el "general" la teoría de que como no se ha desarrollado mucho es porque (esta es mi opinión personal) sería esencialmente inútil:
Para el modelo teórico, debido a los diversos teoremas de representación para toposes y booleano toposes, es saber que todos los eventuales modelo de la teoría de conjuntos usted podría conseguir de esta manera se puede obtener al tomar primero una permutación de modelo y, a continuación, tomar un booleano modelo de valor del modelo dentro de ella. Lo que quiero decir es que cualquier booleano topos de Grothendieck es localic sobre el classyfing grupo de un pro-discreto topológico grupo, y peor aún, cualquier topos de Grothendieck se satisface el axioma de elección admitir una etale cubriendo por un valor booleano de la configuración regional.
Y para topos teórico, bien la principal diferencia entre un modelo de la teoría de conjuntos y un topos es la posibilidad de comparar dos objetos arbitrarios para la membresía de la relación, y me cuesta ver cómo esta característica puede ser relevante para la teoría de topos.
