La comprensión de una muestra particular de los derivados de $e^x$

Question

Probablemente hay más eficiente y más fácil de pruebas para la misma cosa. Esta es la prueba de que tengo que estudiar para mi examen.

Teorema: $(e^x)'=e^x$

Prueba: Para $x\ge 0$ hemos definido $f_0(x)=\lim_{n\to +\infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^n.$ función Exponencial se define ahora por $$ f(x)=e^x= \begin{cases} f_0(x), & x\ge0 \\[4pt] \dfrac{1}{f_0(-x)}, & x\lt0 \end{casos}$$

Para $x,c\gt0$ es

$$\frac{\left(1+\frac{x}{n}\right)^n-\left(1+\frac{c}{n}\right)^n}{x-c}=\frac{1}{n}\left[\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n-1}+\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n-2}\left(1+\frac{c}{n}\right)+\cdots+\left(1+\frac{x}{n}\right)\left(1+\frac{c}{n}\right)^{n-2}+\left(1+\frac{c}{n}\right)^{n-1}\right]$$

Tenemos

$$\left(1+\frac{\min{(x,c)}}{n}\right)^{n-1} \le \frac{\left(1+\frac{x}{n}\right)^n-\left(1+\frac{c}{n}\right)^n}{x-c}\le \left(1+\frac{\max{(x,c)}}{n}\right)^{n-1}$$

Para $n \rightarrow +\infty$ hemos $$f_0(\min{(x,c))} \le \frac{f_0(x)-f_0(c)}{x-c} \le f_0(\max{(x,c))}$$

Funciones de $x \rightarrow \max{(x,c)}$ $x \rightarrow \min{(x,c)}$ son continuas así, por $x \rightarrow c$ $$f_0^{'}(c) = \lim_{x\to c} \frac{f_0(x)-f_0(c)}{x-c} = f_0(c)$$

Ahora , para $ x\lt 0$ tenemos $f(x)=\frac{1}{f_0(-x)}$ , lo$$ f'(x)=-\frac{f_0^{'}(-x)(-1)}{[f_0(-x)]^2}=\frac{f_0(-x)}{[f_0(-x)]^2}=\frac{1}{f_0(-x)}=f(x)$$

En el caso de $c=0$ tenemos por separado, mira a la izquierda y a la derecha el límite de $\frac{f(x)-1}{x}$. Para $x\gt 0$ tenemos $1\le \frac{f_0(x)-1}{x} \le f_0(x)$, debido a la continuidad de la $f_0$ $0$ $f_0(0) = 1$ tenemos $$ \lim_{x\to 0+} \frac{f(x)-1}{x}=1=f(0) $$

Para $x<0$ hemos

$$\lim_{x\to 0-} \frac{f(x)-1}{x} = \lim_{x\to 0-} \frac{\frac{1}{f_0(-x)}-1}{x} = \lim_{-x\to 0+}\frac{f_0(-x)-1}{-x} \frac{1}{\lim_{-x\to 0+}f_0(-x)}=1=f(0)$$

Por lo tanto, $f'(0)=f(0)$. Así, por $\forall x \in \mathbb{R}$$(e^x)'=e^x$.

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No entiendo un par de cosas acerca de esta prueba:

1. ¿Cómo se $(1+\frac{\min{(x,c)}}{n})^{n-1}$$f_0(\min{x,c})$. No tenemos exponente $n$, pero $n-1$?

2. ¿Por qué esto es válido: $ 1\le \frac{f_0(x)-1}{x} \le f_0(x)$ $x\gt0$

3. ¿Por qué esto es válido : $\lim_{x\to 0-} \frac{\frac{1}{f_0(-x)}-1}{x} = \lim_{-x\to 0+}\frac{f_0(-x)-1}{-x} \frac{1}{\lim_{-x\to 0+}f_0(-x)}=1$

Y una pregunta personal, ¿qué piensa usted acerca de esta prueba, y lo hizo su maestro en la universidad solicitada algo similar para usted a saber para el examen?

Answer 1

Creo que tanto la definición de $e^{x}$ y la prueba de su derivada se manejan en una muy manera indirecta. Dos definiciones (uno para $x \geq 0$ y uno para $x < 0$) son una exageración cuando el mismo límite que funciona para todo real $x$. Además, la desigualdad de $1 \leq \dfrac{f_{0}(x) - 1}{x} \leq f_{0}(x)$ no es fácil de establecer, y definitivamente no es obvio. Su tercera pregunta es simple por escrito $y$ en lugar de $-x$ y el uso de $y \to 0^{+}$ en lugar de escribir $-x \to 0^{+}$. Esta es una práctica estándar y la llamamos el método de sustitución y aquí hemos puesto $ x= -y$ para evaluar el límite.

Una forma mucho mejor es proceder de la siguiente manera. En primer lugar demostrar que para cualquier número real $x$ el límite $$\lim_{n \to \infty}\left(1 + \dfrac{x}{n}\right)^{n}\tag{1}$$ exists and hence defines a function of $x$ say $F(x)$. This function is called the exponential function and traditionally denoted by symbol $\exp(x)$ or $e^{x}$. But we stick to $F(x)$ for the time being. Next step is to show that $F(x + y) = F(x)F(y)$ for all real $x, y$. And the last part is to show that $$\lim_{x \to 0}\frac{F(x) - 1}{x} = 1\tag{2}$$ Esto no es difícil, pero al mismo tiempo no es evidente.

La prueba de $(2)$ va más o menos la siguiente. En primer lugar mostramos que $F(x) \geq 1 + x$ todos los $x \in (-1, \infty)$ y a partir de esto podemos obtener la desigualdad $$1 \leq \frac{F(x) - 1}{x} \leq \frac{1}{1 - x}$$ for $0 < x < 1$ and then by Squeeze theorem we get the limit $(2)$ for the case when $x \a 0^{+}$. The result for $x \a 0^{-}$ follows by noting that $F(x)F(-x) = 1$ for all $x$.

He proporcionado una descripción para mi enfoque de arriba. para más detalles ver esta respuesta.

Answer 2

2. es todavía incompleta, aún estoy pensando. Espero que el resto ayude, aunque.

1. Sugerencia:

$$\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac xn\right)^{n-1}=\lim_{k\to\infty}\left(1+\frac xk\right)\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac xn\right)^{n-1}$$

3.

$$\lim_{x\to0^-}\frac{\frac1{f_0(-x)}-1}x=\lim_{-x\to0^+}\frac{f_0(-x)-1}{-x}\frac1{f_0(-x)}=1$$

$$\lim_{-x\to0^+}\frac{f_0(-x)-1}{-x}\frac1{f_0(-x)}=\lim_{-x\to0^+}\frac{\frac{f_0(-x)-1}{f_0(-x)}}{-x}=\lim_{-x\to0^+}\frac{1-f_0(-x)}{-x}=\lim_{-x\to0^+}\frac{f_0(-x)-1}{x}$$

Parece que se le da $f_0(x)=\frac1{f_0(-x)}$ a la conclusión de que el lado izquierdo de la igualdad.

Ver 2. para aplicar el teorema del sándwich en $f(x)$ para evaluar el límite de la $1$.