Demostrar que $6|2n^3+3n^2+n$

Question

Mi intento es: $\displaystyle 2n^3+3n^2+n= n(n+1)(2n+1) = 6\sum_nn^2$ Sin embargo, esto se reduce a probar que la suma de resultado por inducción, que estoy tratando de evitar, en la medida que proporciona el poco conocimiento.

Answer 1

Si escribo esto como $2n^3+3n^2+n\equiv 0 \mod 6$, entonces usted sólo necesita comprobar $n=0,1,2,3,4,5$.

Alternativamente, escribir como $\dfrac{2n(2n+1)(2n+2)}{4}$ donde el numerador tiene, obviamente, un múltiplo de 3, un múltiplo de 4 y otro múltiplo de 2, entonces es divisible por 24, es decir, la expresión es divisible por 6.

Answer 2

Ha $2n^3+3n^2+n=n(n+1)(2n+1)$, e $2\mid n(n+1)$. Si $3\mid n(n+1)$, entonces estás listo. De lo contrario, $n\not\equiv 0\pmod{3}$$n\not\equiv -1\pmod{3}$, lo $n\equiv 1\pmod{3}$. A continuación,$2n+1\equiv 3\equiv 0\pmod{3}$, lo $3\mid 2n+1$ y se obtiene el resultado.

Answer 3

SUGERENCIA $\rm\ f(n) =\: 3\ (n^2+n) + 2\ (n^3-n)\ =\ 3\ n\ (n+1)\ +\ 2\ (n-1)\ n\ (n+1)\:.\:$ Pero $2$ se divide una de $\rm\:n,\:n+1\:$ $3$ se divide una de $\rm\:n-1,\:n,\:n+1\:.\:$ O, dicho en términos de los coeficientes binomiales,

$$\rm f(n)\ =\ 6\ {n+1\choose 2}\ +\ 12\ {n+1\choose 3}\quad\text{is a multiple of}\ \ 6$$

De hecho, este generaliza ampliamente: se trata de una clásica resultado de Polya y Ostrowski (1920) que todos los valores enteros polinomio, es decir, cada $\rm\:f(x)\in \mathbb Q[x]\:$ $\rm\:f(\mathbb Z)\subset \mathbb Z\:,\:$ es una integral combinación lineal de los coeficientes binomiales. Ver esta respuesta para las referencias (y un problema similar).

Answer 4

Sin embargo, otra forma de ver esto es la siguiente:

En primer lugar, como varios otros ya han señalado, $n(n+1)$ es divisible por $2$, tan sólo tenemos que comprobar la divisibilidad por $3$. Ahora, $n \equiv 0,1, \text{ or } 2 (\text{mod } 3)$. En el caso de $n \equiv 0 (\text{mod } 3)$, el problema es trivial. En el caso de $n \equiv 2 (\text{mod } 3)$, $n+1 \equiv 0 (\text{mod } 3)$. Hay un último caso, pero que también está cubierto: $2n+1 \equiv 0 (\text{mod } 3)$ si $n \equiv 1 (\text{mod } 3)$. Para resumir...

$n \equiv 0 (\text{mod } 3) \implies n \equiv 0 (\text{mod } 3)$
$n \equiv 1 (\text{mod } 3) \implies 2n+1 \equiv 0 (\text{mod } 3)$
$n \equiv 2 (\text{mod } 3) \implies n+1 \equiv 0 (\text{mod } 3)$

¿Cómo es eso? :)

Answer 5

Otra manera de verlo: considerar n(n+1)(2n+1). Escribir el tercer factor (2(n+2)-3), entonces tenemos n (n+1) (2(n+2)-3). Dado que uno de los n, n+1 debe ser, incluso, el producto es divisible por 2.

Uno de n, n+1, n+2 debe ser divisible por 3. Tenga en cuenta que n+2 es divisible por 3 si y sólo si 2(n+2)-3 es divisible por tres, así que esto significa que uno de n, n+1, 2(n+2)-3 es divisible por tres, y por lo tanto también lo es su producto.

Desde el 2 y 3 son primos relativos, tenemos que n(n+1)(2n+1) es divisible por su producto, 6.