Aclaración sobre una parte de la respuesta de los alrededores limsup, liminf

Question

Estoy leyendo Paramanand Singh muy excelente solución aquí:

http://math.stackexchange.com/a/1893725/361588.

Sin embargo, estoy confundido en la última parte. Podría alguien ayudarme a aclarar esto?

¿Qué se desprende de la discusión anterior? Así tenemos las siguientes dos evidente propiedades de $M = \limsup a_{n}$:

1. Cualquier número mayor que $M$ es superior por lo que si $\epsilon > 0$ $a_{n} \leq M + \epsilon$ para todos los valores de $n$.
2. Cualquier número menor que $M$ no es superior por lo que si $\epsilon > 0$ $a_{n} > M - \epsilon$ infinitamente muchos de los valores de $n$.

Answer 1

Por la definición de un límite y el lim sup, si $S_n$ denota el supremum de todos los $a_k$$k\ge n$, para cualquier $\epsilon > 0$ existe un $m$ tal que para todos los $n>m$ tenemos $|S_n-M|< \epsilon$, y esto significa que $S_n\le M+\epsilon$ todos los $n>m$, lo que implica que $a_n\le M+\epsilon$. Esta es la primera afirmación. También implica $S_n> M-\epsilon$ todos los $n>m$. Esto quiere decir que para cualquier $n>m$ existe un $k\ge n$$a_k\ge M-\epsilon$, pues de lo contrario tendríamos $S_n\le M-\epsilon$. Puesto que para cualquier natural $n$ podemos encontrar una $k\ge m$ tal que $a_k\ge M-\epsilon$, debe haber una infinidad de $a_k$ que satisfacen dicha propiedad, por lo que tenemos la segunda afirmación.