El centro de un grupo lineal con finito de clases conjugacy ha finito índice

Question

Dado un grupo lineal $G\subset GL_n(k)$ con la propiedad de que cada clase conjugacy es finito (o, equivalentemente, cada centraliser ha finito índice), muestran que de ello se desprende que el centro ha finito índice.

Lo contrario es cierto para cualquier grupo, ya que el orden de cualquier clase conjugacy está delimitado por el índice del centro de la órbita stabilisor.

Hasta ahora solo pude probar el resultado al $G$ es finitely generado, para, a continuación, $Z(G)=\cap_{i=1}^nC_G{(g_i)}$ algunos $g_i\in G$, y por lo tanto $|G:Z(G)|\le \prod_i|G:C_G{(g_i)}|<\infty$.

Estaba pensando que tal vez de alguna manera se aplican Schur del resultado en el problema de Burnside (un periódico lineal grupo localmente finito), pero no estoy seguro de que esta ayuda.

Answer 1

Cada elemento de a $G$ tiene un índice finito centralizador, y por lo tanto todos los finitely generado subgrupo de $G$ ha finito índice centralizador.

Deje $F$ ser un subconjunto finito de $G$ cuyo centralizador $C$ $M_n(k)$ tiene un mínimo de dimensión (observar que este centralizador es una subalgebra, por lo tanto, un subespacio lineal). Yo reclamo que $C$ es el centralizador de $G$. De hecho, si $g\in G$, el centralizador de $F\cup\{g\}$ está contenida en el centralizador $C$$F$, y por lo tanto es igual a $C$ por minimality de la dimensión. Por lo tanto $C$ centraliza $g$. Ya que este tiene para todos los $g$ obtenemos el resultado.

Por lo tanto el centro de la $C\cap G$ $G$ coincide con el centralizador de $F$, y por lo tanto finito índice.

Más generalmente, si $G$ es cualquier FC-grupo (grupo cuyas clases conjugacy son finitos) y la satisfacción de las descendente de la cadena de condición en centralizadores (cada descendente de la cadena de centralizadores estabiliza), a continuación, $G$ centro de índice finito. La parte descendente de la cadena de condición en centralizadores es satisfecho por lineal de los grupos (en un sentido fuerte, ya que hay un uniforme obligado en las longitudes de las cadenas).