si $f\circ g= f\circ h$ $g=h$

Question

Mientras estaba estudiando desde mi Teoría de conjuntos libro, me puede cruzar con un teorema que dice: vamos a $f:A\to B$ ser una función. Vamos a decir que $f$ es la reducción de la izquierda si para cada a $g,h$ de $X$ $A$si $f\circ g= f\circ h$$g=h$. También desde el lado derecho - vamos a decir que $f$ es la reducción de la derecha si para cada a $g,h$ de $B$ $X$si $g \circ f= h \circ f$$g=h$. No me llegó y me gustaría ver algunos ejemplos de las funciones que muestra esas dos condiciones.

Answer 1

La terminología estándar para la izquierda reducido es monomorphism (o mono) y por el derecho de reducción es epimorphism (o epi). Estos son los términos utilizados en cualquier categoría. Para los conjuntos y funciones, una función es una monomorphism iff es inyectiva, y es un epimorphism iff es surjective. Estos son los resultados que son bastante fáciles de demostrar, dando una completa caracterización en términos de inyectividad y surjectivity.

Answer 2

Bueno, voy a dar el paso y dar la respuesta en un nivel inferior.

Recordemos que una función $f$ se llama inyectiva o uno a uno si no dos mapas diferentes elementos de $A$ para el mismo elemento de $B$, es decir, cuando el siguiente se tiene:

$$(\forall x,y\in A)(f (x)=f (y) \implies x=y)$$

Se llama a una función surjective o sobre si cada elemento de a $B$ es la imagen de algún elemento de $A$, que es:

$$(\forall x\in B)(\exists y\in A) f (y)=x$$

Teorema 1: $f:A\to B$ es la reducción de la izquierda si y sólo si $f$ es inyectiva.

Prueba: "Si" parte: Suponga $f$ es inyectiva, y supongamos $f\circ g=f\circ h$. Deje $x \in X$. Debido a $(f\circ g)(x)=(f\circ h)(x)$,$f (g (x))=f (h (x))$. El uso de inyectividad, se deduce que el $g (x)=h (x)$. Como esto es válido para todos los $x\in X$, se deduce que el $g=h$.

"Sólo si" parte: Suponga $f:A\to B$ es la reducción de la izquierda. Deje $x,y\in A$ tal que $f (x)=f (y)$. Como $X$, tomar cualquier conjunto no vacío, y definir $f,g$ a ser constante mapas: $f (z)=x, g (z)=y$ todos los $z\in X$. Ahora, por cada $z\in X$ tenemos $(f\circ g)(z)=f (g (z))=f (x)=f (y)=f (h (z))=(f\circ h)(z)$, lo $f\circ g=f\circ h$. Debido a $f$ es la reducción de la izquierda,$g=h$. Ahora, mientras nos tomábamos $X$ a ser no vacío, elija cualquiera de los $z\in X$, y tenemos $x=g (z)=h (z)=y$.

Teorema 2: $f:A\to B$ es la reducción de la derecha si y sólo si $f$ es surjective.

Prueba: "Si" parte: Suponga $f$ es surjective. Deje $g,h:B\to X$ tal que $g\circ f=h\circ f$. Tome $x\in B$. Como $f$ es surjective, existe $y\in A$ tal que $f (y)=x$. Ahora, tenemos $g (x)=g (f (y))=(g\circ f)(y)=(h \circ f)(y)=h (f (y))=h (x)$. Como esto es válido para todos los $x\in B$, se deduce que el $g=h$.

"Sólo si" parte: Supongamos que $f$ no es surjective, es decir, que no es $x\in B$ tal que $f (y)\ne x$ todos los $y\in A$. Como $X$, 2-element set $\{a,b\}$ y definen $g (z)=a$$h (z)=\begin {cases}a & z\ne x \\ b & z=x \end {cases}$, para todos los $z\in B$. Ahora, observe $g\ne h$ porque $g (x)=a$$h (x)=b$. Sin embargo, $g\circ f=h\circ f$ porque $(g\circ f)(y)=g (f (y))=a=h (f (y))=(h\circ f)(y)$ todos los $y\in A$ porque $f (y)$ nunca es igual a $x$. De ello se desprende que $f$ no se reduce desde la derecha.