si $f\circ g= f\circ h$ $g=h$

Question

Mientras estaba estudiando desde mi Teoría de conjuntos libro, me puede cruzar con un teorema que dice: vamos a $f:A\to B$ ser una función. Vamos a decir que $f$ es la reducción de la izquierda si para cada a $g,h$ de $X$ $A$si $f\circ g= f\circ h$$g=h$. También desde el lado derecho - vamos a decir que $f$ es la reducción de la derecha si para cada a $g,h$ de $B$ $X$si $g \circ f= h \circ f$$g=h$. No me llegó y me gustaría ver algunos ejemplos de las funciones que muestra esas dos condiciones.

Answer 1

La terminología estándar para la izquierda reducido es monomorphism (o mono) y por el derecho de reducción es epimorphism (o epi). Estos son los términos utilizados en cualquier categoría. Para los conjuntos y funciones, una función es una monomorphism iff es inyectiva, y es un epimorphism iff es surjective. Estos son los resultados que son bastante fáciles de demostrar, dando una completa caracterización en términos de inyectividad y surjectivity.

Answer 2

Bueno, voy a dar el paso y dar la respuesta en un nivel inferior.

Recordemos que una función $f $ se llama inyectiva o uno a uno si no dos mapas diferentes elementos de $A $ para el mismo elemento de $B $, es decir, cuando el siguiente se tiene:

$$(\forall x,y\in A)(f (x)=f (y) \implies x=y)$$

Se llama a una función surjective o sobre si cada elemento de a $B $ es la imagen de algún elemento de $A $, que es:

$$(\forall x\in B)(\exists y\in A) f (y)=x $$

Teorema 1: $f:A\to B $ es la reducción de la izquierda si y sólo si $f $ es inyectiva.

Prueba: "Si" parte: Suponga $f $ es inyectiva, y supongamos $f\circ g=f\circ h $. Deje $x \in X $. Debido a $(f\circ g)(x)=(f\circ h)(x)$,$f (g (x))=f (h (x)) $. El uso de inyectividad, se deduce que el $g (x)=h (x) $. Como esto es válido para todos los $x\in X $, se deduce que el $g=h $.

"Sólo si" parte: Suponga $f:A\to B $ es la reducción de la izquierda. Deje $x,y\in A $ tal que $f (x)=f (y) $. Como $X $, tomar cualquier conjunto no vacío, y definir $f,g $ a ser constante mapas: $f (z)=x, g (z)=y $ todos los $z\in X $. Ahora, por cada $z\in X $ tenemos $(f\circ g)(z)=f (g (z))=f (x)=f (y)=f (h (z))=(f\circ h)(z) $, lo $f\circ g=f\circ h $. Debido a $f $ es la reducción de la izquierda,$g=h $. Ahora, mientras nos tomábamos $X $ a ser no vacío, elija cualquiera de los $z\in X $, y tenemos $x=g (z)=h (z)=y $.

Teorema 2: $f:A\to B $ es la reducción de la derecha si y sólo si $f $ es surjective.

Prueba: "Si" parte: Suponga $f $ es surjective. Deje $g,h:B\to X $ tal que $g\circ f=h\circ f $. Tome $x\in B $. Como $f $ es surjective, existe $y\in A $ tal que $f (y)=x $. Ahora, tenemos $g (x)=g (f (y))=(g\circ f)(y)=(h \circ f)(y)=h (f (y))=h (x) $. Como esto es válido para todos los $x\in B $, se deduce que el $g=h $.

"Sólo si" parte: Supongamos que $f $ no es surjective, es decir, que no es $x\in B $ tal que $f (y)\ne x $ todos los $y\in A $. Como $X $, 2-element set $\{a,b\} $ y definen $g (z)=a $$h (z)=\begin {cases}a & z\ne x \\ b & z=x \end {cases} $, para todos los $z\in B $. Ahora, observe $g\ne h $ porque $g (x)=a $$h (x)=b $. Sin embargo, $g\circ f=h\circ f $ porque $(g\circ f)(y)=g (f (y))=a=h (f (y))=(h\circ f)(y) $ todos los $y\in A $ porque $f (y) $ nunca es igual a $x $. De ello se desprende que $f $ no se reduce desde la derecha.