¿Qué son los anillos?

Question

No es una tarea pregunta o algo, pero me preguntaba: los grupos son útiles en la física y puede ser aplicado a muchos de simetría de la celebración de los problemas, los campos pueden ser utilizados para la construcción de espacios vectoriales sobre el campo. Pero, ¿qué uso hacen en general los anillos? Es para la construcción de los módulos?

O más concretamente, alguien puede darme un ejemplo de aplicación de un anillo.

Gracias de antemano.

EDIT: por supuesto que sé que los ejemplos triviales como $\mathbb{R}$, pero ya que este es también un campo tiene sus aplicaciones como un espacio vectorial o como un campo de tierra para un espacio vectorial. ¿Qué acerca de la $\mathbb{Z}[i]$, por ejemplo?

Answer 1

Descomposición en números primos en $\mathbb{Z}$ es simplemente una consecuencia del hecho de que $\mathbb{Z}$ es un UFD.

La descomposición de una matriz en bloques de Jordan es una aplicación de la estructura teorema de finitely generado los módulos a través de PID.

Anillos a menudo se producen como anillos de funciones. Por ejemplo, el anillo de las funciones lisas $M \rightarrow \mathbb{R}$ (donde $M$ es un buen colector) puede ser usado para definir el espacio de la tangente.

La lista es interminable.

Answer 2

Los anillos son de los objetos que realmente no 'aplicar', pero si te das cuenta de que algo se está trabajando con admite una estructura de anillo de repente usted sabe un montón sobre eso, porque de toda la teoría que se conoce acerca de los anillos en general.

Un buen ejemplo que utiliza una propiedad de los enteros de Gauss mencionado por Ennar en los comentarios a su pregunta se encuentra en el comienzo del Capítulo 1 en Neukirch de la Teoría Algebraica de números (usted puede encontrar el PDF en línea), donde demuestra que:

Para todos los números primos $p\neq 2$, se tiene: $$p=a^2+b^2\;\; \Leftrightarrow\;\; p\equiv 1\;\text{mod}\; 4 $$ para $a,b\in\mathbb{Z}$.

Answer 3

Un anillo es una buena generalización de los números enteros $\mathbb Z$ (podemos hacer la suma, la resta, la multiplicación, pero no siempre de la división), y así, una de las aplicaciones es la realización de algún tipo de aritmética.

Por ejemplo, $\mathbb R[X]$ es un anillo y compartir una gran cantidad de "aritmética" propiedades con $\mathbb Z$: hemos mcd, mcm, un único "prime" de descomposición de cada elemento (a pesar de lo que llamamos la "irreductible" de polinomios) que viene del hecho de que ambos son Euclidiana de los anillos.

El anillo también es un buen concepto para el estudio multivariable polinomios: cuando estás estudiando $\mathbb R[X, Y, Z]$ (polinomios de tres variables con coeficientes en el campo de $\mathbb R$), se puede ver como $(\mathbb R[X,Y])[Z]$ (polinomios en una variable $Z$ con coeficientes en el anillo de $\mathbb R[X, Y]$). Así que, en realidad, el estudio de los polinomios de más de un anillo en lugar de sobre un campo (y eso cambia mucho las cosas: por ejemplo, no siempre podemos hacer Euclidiana división en $\mathbb Z[X]$).

Answer 4

Los anillos son importantes para muchas áreas, pero en particular para la teoría de los números y sus métodos de álgebra conmutativa y geometría algebraica. Los anillos de enteros en un número de campos se utilizan, por ejemplo, para Diophantine ecuaciones, por ejemplo, para la FLT. El cuadrática campo de número de $\mathbb{Q}(i)$ ha anillo de enteros $\mathbb{Z}[i]$, y es uno de los más ejemplos básicos, además del caso trivial de $\mathbb{Q}$$\mathbb{Z}$.

Además, el polinomio de anillos de $K[x_1,\ldots, x_n]$ son muy importantes, no sólo para la geometría algebraica, sino también para aplicaciones, como bases de Gröbner etc.

Answer 5

Las otras respuestas han señalado muchas aplicaciones de los anillos de sí mismos, en particular a la teoría de números. Pero considerando los módulos, anillos también puede arrojar mucha luz sobre espacios vectoriales y en los grupos! Ellos son un gran ejemplo de cómo, por hacer algo más general (un anillo es una generalización de un campo), podemos ganar mucho.

Deje $M$ ser un finitely módulo generado sobre un anillo de $R$ que es un PID. El teorema de estructura de los estados que

No se determina únicamente los ideales de $R$ $$I_1 \supset I_2\supset\cdots\supset I_n$$such that $$M\cong \bigoplus_{i=1}^nR/I_i$$

Dos aplicaciones de este teorema son:

• Tomando $R = \mathbb Z$, obtenemos la estructura teorema de finitely generado abelian grupos
• Tomando $R= \mathbb C[X]$, obtenemos un limpio y racionalización de la prueba de la forma normal de Jordan para matrices complejas.