Cómo probar esto $x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}<\frac{5}{3}$

Question

Pregunta:

Deje $x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}\ge 0$ con $$x_{i}x_{j}\le 4^{-|i-j|}$$ para todos los $i, j = 1, \dots, n.$ Muestran que $$x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}<\dfrac{5}{3}.$$

Este problema es de Sur Oriente Olimpiada Matemática de ayer.tal vez se puede utilizar la matriz o integral de la desigualdad?

He encontrado la constante $\dfrac{5}{3}$ es el mejor ,porque nos vamos a $$x_{n}=\dfrac{1}{4^k},x_{n-1}=\dfrac{1}{4^{k-1}},\cdots,x_{[n/2]+1}=\dfrac{1}{4},x_{[n/2]}=1,x_{[n/2]-1}=\dfrac{1}{4},\cdots,x_{2}=\dfrac{1}{4^{k-1}},x_{1}=\dfrac{1}{4^k}$$ es claro que este ejemplo esta condición,y hemos $$\lim_{k\to\infty}[x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}]=\dfrac{1/4}{1-1/4}+1+\dfrac{1/4}{1-1/4}=\dfrac{5}{3}$$

si este inequlity a probar $$x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}<2$$

podemos utilizar la inducción Matemática $x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}$ es de menos de $$1,\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2^2},\cdots,\dfrac{1}{2^{n-1}}$$ porque Assmue que $n=k$ es cierto,Nota $$x_{1}x_{k+1}\le \dfrac{1}{4^k}$$ desde $$x_{1}\le\dfrac{1}{2^{k}}$$ así $$x_{k+1}<\dfrac{1}{2^{k}}$$ así $$x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}=\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{2^{k-1}}<2$$

Gracias

Answer 1

Hemos de hacer un par de observaciones:

• Si las restricciones de la forma $x_ix_j \leq 4^{-|i-j|}$ permanecen siempre en la forma de las desigualdades, entonces siempre podemos aumentar algunas de las entradas sin violar las condiciones, mientras que el aumento de la suma. En particular, supongamos que hay un índice i tal que $x_ix_j \lt 4^{-|i-j|}$ para todos los j. A continuación, podemos mantener el aumento de $x_i$ hasta que uno de estos se convierte en una igualdad. Por lo tanto, podemos suponer por ahora que para todo i, existe un j tal que $x_ix_j = 4^{-|i-j|}$

• Supongamos $x_ix_j = 4^{-|i-j|}$. Por ahora, wlog asumir que $i < j$. A continuación, para todos $k>j$, $x_ix_k \leq 4^{-|i-k|}$ significa que $x_k 4^{-|i-j|} / x_j\leq 4^{-|i-k|}$$x_k \leq 4^{-|j-k|}x_j$. Esto conduce a una serie geométrica, lo que se suma que tenemos que la suma de todos los elementos a partir de $x_j$ y continuando a la derecha no puede exceder $4x_j$/3. En general, si un elemento está restringido por otro elemento a un lado de ella, entonces la suma de todos los elementos en el otro lado incluyendo a sí mismo no puede exceder 4a/3.

• Tomar un máximo del elemento en el conjunto, llámalo x. Ahora, hemos demostrado que todos los elementos deben satisfacer alguna restricción en un candidato para una máxima suma. Por lo tanto, x debe satisfacer cierto tipo de restricción. wlog asumir que la limitante de la variable se encuentra en la izquierda. Por lo que la suma de todos los elementos a la derecha de x, incluyendo x sí no puede exceder de 4x/3.

• Llamamos el elemento a la izquierda de x como de y (si x es el elemento más a la izquierda, entonces la suma se describe en este punto sólo se convierte en 0. Así que el resto del argumento no se ve afectada). Observar que a medida que x no es menor que y, los elementos restrictivo y debe estar a la derecha de y (si cualquier elemento de restricción de mintió a la izquierda de y, entonces x sería en la mayoría de los y/4. Pero hemos tomado x ser un máximo del elemento). De modo que la suma de y + todos los elementos a la izquierda de y no puede exceder 4y/3.

• Los importes descritos en los dos últimos puntos de cubrir la totalidad de la matriz. De modo que la suma total no puede exceder de 4x/3 + 4y/3 = 4(x+y)/3.

• Dentro de las limitaciones, x e y son menos del 1 $xy \leq 1/4$. De modo que x + y no puede exceder de 1 + 1/4 = 5/4 (considerando la función f(x) = x + 1/4x en [0,1]).

• Por lo tanto, la suma total, $S \leq 4(x+y)/3 \leq (4/3)(5/4) = 5/3$.