Explicación de las declaraciones en papel requerido (pde, cálculo, análisis)

Question

(Estoy leyendo un papel que se llama Manteca Completo Plano de Curvas de Kai-Seng Chou & Xi-Ping Zhu. Está disponible en http://projecteuclid.org/DPubS/Repository/1.0/Disseminate?view=body&id=pdf_1&handle=euclid.jdg/1214424967. Página 476 es relevante)

Considere la ecuación diferencial parcial en el dominio $\mathbb{R}\times [0,T]$: $$u_t - A(x,t)u_{xx} + \text{l.o.t} = f$$ donde $$A(x,t) = \frac{(1-k_0(x)^2t)^2}{[(1-k_0(x)^2t)^2 + (k_{0_x}(x)t)^2]^2}$$ donde $k_0(x)$ es la curvatura de la curva de $\gamma_0:\mathbb{R} \to \mathbb{R}^2$.

Recordemos que un PDE es uniformemente parabólico si existen constantes positivas $a$ $b$ de manera tal que el plazo en el frente de la Laplaciano se encuentra entre el$a$$b$, es decir, $a \leq A(x,t) \leq b$.

Preguntas:

1) ¿por Qué es cierto que

$A$ está delimitado en $C^{k, \alpha}(\mathbb{R} \times [0,T])$ si $\gamma_0 \in C^{k+4, \alpha}(\mathbb{R})$?

Algo que ver con el hecho de que $k_0$ depende de $(\gamma_0)_{xx}$?

2) ¿por Qué es cierto que

Si nos restringimos $T$, de modo que, por ejemplo, $$T < \frac{1}{2}\inf_x \frac{1}{1+k_0^2(x)},$$ a continuación, el PDE es uniformemente parabólico.

No veo de donde viene.

Gracias por la ayuda.

Answer 1

1) Sí, si en $k_0$ no son derivados de hasta el segundo orden, a continuación, $\frac{\partial} {\partial x}A(x,t)$ contiene $k_0$ los derivados de la orden de no más de tres, etc. También es infinitamente diferenciable con respecto a $t$. La única cosa que se comprueba aquí es que el denominador se apartó de cero. Pero en general no se sostiene. Por ejemplo, si $k_0(x_0)\ne0\;$ ${k_0}_x(x_0)=0\;$ $$ Un(x_0,t) = \frac{1}{(1-k_0(x_0)^2)^2}\to\infty, \quad t\a k_0^{-2}(x_0). $$ Sin embargo, lo suficientemente pequeño como para valores de $t$ (restringido, en la siguiente pregunta), $$ 1-k_0(x_0)^2t \ge 1-\frac12\frac{k_0^2(x)}{1+k_0^2(x)}\ge\frac12, $$ por lo tanto el denominador se apartó de cero por $1/16$.

2) Poner $C_1=\sup_x |k_{0}(x)|\;$, $C_2=\sup_x |k_{0_x}(x)|\;$. Entonces tenemos $$ Un(x,t)\ge \frac{\frac14}{\left(\frac14+C_2^2T^2\right)^2}=a, $$ $$ Un(x,t)\le \frac {(1+C_1^2)^2}{\frac1{16}}=b. $$