Relacionados Con Las Tasas De Escalera Pregunta

Question

Una escalera de 25 pies de longitud, se crea un triángulo recto con la pared es apoyado contra. Si la base de la escalera está siendo empujado horizontalmente hacia fuera de la pared a una velocidad de 2 pies/s, ¿cuál es la tasa que el área del triángulo cambia cuando la base de la escalera es de 11 pies de distancia de la pared.

He tratado de resolver esta cuestión y no estoy seguro de si es o no mi metodología es correcta. He resuelto de altura utilizando el teorema de Pitágoras (22.45 ft) y, a continuación, encontrar la velocidad que los cambios de altura utilizando la siguiente: $$ 2h\frac{dh}{dt} = -2b\frac{db}{dt} $$ Yo entonces supuso que la tasa de cambio en el área fue:

$$ \frac{dA}{dt} = .5b\frac{dh}{dt} + .5h\frac{db}{dt} $$ Conectar cosas, tengo 17.06. Estoy en lo cierto?

Answer 1

Vamos, $h$ & $a$ ser la altura y la base del triángulo formado en cualquier instancia

En el triángulo rectángulo, usando el teorema de Pitágoras, $$25^2=h^2+a^2$$$$\implica que h=\sqrt{625-un^2}$$ Now, the area of the right triangle at any instance $$A=\frac{1}{2}(\text{base})(\text{height})=\frac{1}{2}(a)(h)$$ $$A=\frac{1}{2}a\sqrt{625-a^2}$$ Por lo tanto, la tasa de cambio de la zona de la derecha, triángulo, $$\frac{dA}{dt}=\frac{1}{2}\frac{d}{dt}(a\sqrt{625-a^2})$$ $$=\frac{1}{2}\left(\sqrt{625-a^2}-\frac{a^2}{\sqrt{625-a^2}}\right)\frac{da}{dt}$$ $$=\frac{1}{2}\left(\frac{625-2a^2}{\sqrt{625-a^2}}\right)\frac{da}{dt}$$ Ahora, la configuración de los valores correspondientes, la longitud de la base, $a=11$ pies y la velocidad de la escalera de base, $\frac{da}{dt}=2$ m/seg, obtenemos $$\frac{dA}{dt}=\frac{1}{2}\left(\frac{625-2\cdot11^2}{\sqrt{625-11^2}}\right)(2)$$ $$\color{red}{\frac{dA}{dt}}=\color{blue}{\frac{383}{2\sqrt{126}}\approx 17.06 ft^2/sec}$$

Answer 2

Básicamente, estás en lo correcto. Es conveniente y también proporciona algún tipo de visión cuando se maneja simbólicamente hasta el último paso de la introducción/enchufar.

Deje $ h,b $ ser la altura y la longitud de la base en el suelo, el punto de contacto de la escalera. Escalera de longitud $L$

Área de $$ A= b \, h/2,\, h^2 +b^2 = L^2, $$

$$ 2 A = b \cdot \sqrt{L^2 - b^2} $$

Diferenciar con respecto al tiempo $t$ y simplificar.

$$ 2 \dot A = \dfrac{\dot b( L^2 -2 b^2) }{ \sqrt{L^2 - b^2}} $$

Usted puede ver que cuando la $ b/L = \dfrac{1}{\sqrt2}$ , o cuando la escalera hace $45^0 $al suelo, el área de $A$ permanece constante. Que parte de ella es convincente ya.

Sólo que ahora conecte los valores dados: $ L=25, b=112,\dot b = 2 ; \, \dot A = 17.0602 $ metros cuadrados por segundo.