Encontrar Multivariable De Los Límites De

Question

Hay una buena manera de encontrar un multivariable límite distinto el cambio a coordenadas polares?

Por ejemplo, los estudiantes cada año se inundan con problemas como $$\lim_{(x,y)\to (0,0)}{\frac{x^2y-xy^2}{\sqrt{x^2+y^2}}}$$ and, putting aside using the definition of the limit directly, the only good solution that seems to exist is to write $$\lim_{r\to 0}{\frac{r^3(\cos^2\theta\sin\theta-\cos\theta\sin^2\theta)}{r}}=\lim_{r\to 0}{\;r^2\cos\theta\sin\theta (\cos\theta -\sin\theta)}=0$$

También, hay algún caso en el que este método falla? No se sienta obligado a proporcionar una verdadera prueba, me pregunto si no es una prueba, porque yo no recuerdo nunca ver uno en un libro de texto.

Answer 1

Las coordenadas polares truco generalmente funciona muy bien si el denominador es un pariente de $x^2+y^2$. Esto ocurre con bastante frecuencia en los ejercicios.

Ciertamente hay otros métodos. Por ejemplo, supongamos $w=\max(|x|,|y|)$. A continuación, el denominador es $\ge w$. El numerador tiene valor absoluto $\le 2w^3$. Por tanto la relación es $\le 2w^2$, que se aproxima $0$$(x,y)\to (0,0)$.

Answer 2

Se aproxima el límite a lo largo de una línea recta no siempre funciona! Ver este contraejemplo