Las incrustaciones son precisamente inmersiones inyectivas adecuadas.

Question

Llamamos a un mapa $f: X \to Y$ entre espacios topológicos adecuado si $f^{-1}(K)$ es compacto para todos los compactos $K \subset Y$ . ¿Dónde puedo encontrar una referencia de que las incrustaciones son precisamente inmersiones inyectivas adecuadas? ¿O podría alguien aportar una prueba?

Answer 1

Esto no es del todo cierto, ya que, por ejemplo, el disco de la unidad abierta está incrustado en $\mathbb{R}^2$ por la inclusión, y la imagen inversa del disco unitario cerrado es el disco unitario abierto. Lo que demostraremos es que las incrustaciones con imagen cerrada son lo mismo que las inmersiones inyectivas propias.

Observamos que la propiedad de ser cerrado en un espacio topológico es una condición local; es decir, si $\{U_i\}_{i \in I}$ es una cubierta abierta de $X$ entonces $A$ está cerrado en $X$ si y sólo si $A \cap U_i$ está cerrado en $U_i$ para todos $i$ .

Del mismo modo, la propiedad de una biyección $f: X \to Y$ tiene la propiedad local de que si hay un conjunto $I$ tal que $\{X_i\}_{i \in I}$ y $\{Y_i\}_{i \in I}$ son tapas abiertas de $X$ , $Y$ indexados respectivamente por $I$ con la propiedad de que $f|_{X_i}$ es un homeomorfismo hacia $Y_i$ entonces $f$ es un homeomorfismo.

Ahora, supongamos que tenemos una incrustación $f: X \to Z$ con imagen cerrada $Y$ . Por definición, una incrustación es siempre una inmersión inyectiva, por lo que sólo tenemos que demostrar que es adecuada. Ahora, dado cualquier conjunto compacto $K$ , $f^{-1}(K \cap Y)$ es compacto ya que $K \cap Y$ es compacto $($ es donde necesitamos que $Y$ está cerrado $)$ y $f^{-1}$ es un homeomorfismo de $Y$ a $X$ , por lo que lleva conjuntos compactos a conjuntos compactos. Así, $f^{-1}(K) = f^{-1}(K \cap Y)$ es compacto.

A la inversa, supongamos que tenemos una inmersión inyectiva adecuada $X \to Z$ y supongamos que $Y$ es la imagen de $X$ . Dado cualquier $P \in X$ podemos encontrar una vecindad de $p$ tal que $f|_U$ es una incrustación, y la contracción $U$ si es necesario, podemos asumir $U$ tiene un cierre compacto contenido en un único gráfico de coordenadas. Ahora, dejemos que $K$ sea un subconjunto compacto de $Z$ cuyo interior contiene $f(p)$ . Entonces $f^{-1}(K) \setminus U$ es compacto, por lo que podemos elegir una cubierta abierta finita de $f^{-1}(K) \setminus U$ por conjuntos abiertos $f^{-1}(A_j)$ donde cada $A_j \subset Z$ está abierto pero no tiene $f(p)$ en su cierre $($ desde $f$ es inyectiva y $Z$ es Hausdorff, podemos encontrar tal cobertura $)$ . De ello se desprende que hay alguna vecindad $V$ de $f(p)$ que no intersecte ninguno de los conjuntos $A_j$ y podemos suponer $V$ está contenida en el interior de $K$ . De ello se desprende que $f^{-1}(V \cap K \cap Y) \subset f^{-1}(K) \setminus(f^{-1}(K) \cap U) = U$ . Desde $f|_U$ es un homeomorfismo sobre su imagen, $f|_{f^{-1}(V)}$ también lo es. El resultado se deduce entonces de la caracterización local de los homeomorfismos.

Answer 2

Las incrustaciones cerradas (equivalentemente, las incrustaciones con imagen cerrada) son precisamente inmersiones inyectivas adecuadas.

$(\Rightarrow)$ Si $f : M \to N$ es una incrustación con $f(M)$ cerrado, entonces es obviamente propio (ya que la intersección de un conjunto compacto con $f(M)$ es compacto).

$(\Leftarrow)$ Por otro lado, si $f : M \to N$ es una inmersión propia e inyectiva, es obviamente cerrada (ya que los mapas adecuados están cerrados ). Comprobamos que es una incrustación. (Esta es la única parte no trivial).

Dejemos que $p \in M$ ; basta con encontrar una vecindad $U \subset M$ de $p$ y un barrio $V \subset N$ de $f(p)$ tal que $V \cap M = f(U)$ . Utilizaremos los gráficos de coordenadas apropiados e ignoraré felizmente la distinción entre lo que ocurre en los colectores y lo que ocurre "abajo en $\mathbb{R}^n$ ".

El hecho de que $f$ es una inmersión garantiza que hay coordenadas $x^1, \dots, x^m$ en un barrio $U$ de $p$ (con $p$ asignación a $0$ ), y las coordenadas $y^1, \dots, y^n$ en un barrio $V$ de $f(p)$ (con $f(p)$ asignación a $0$ ) tal que, en estas coordenadas, el mapa $f$ tiene la forma $$ (x^1, \dots, x^m) \mapsto (x^1, \dots, x^m, 0, \dots, 0), $$ y $f(U)$ es exactamente la porción $S$ dado por $y_{m+1} = \cdots = y_n = 0$ . (Este es un caso especial del teorema del rango constante).

Para $\epsilon > 0$ suficientemente pequeño, el $\epsilon$ -Pelota sobre $0$ en $\mathbb{R}^n$ está contenida en $V$ . Dejamos que $V_{\epsilon}$ denota esto $\epsilon$ -bola, y dejamos que $U_\epsilon = f^{-1}(V_\epsilon \cap S)$ que es una vecindad de $p$ .

Si, para algunos $\epsilon$ tenemos $V_{\epsilon} \cap f(M) = V_\epsilon \cap S$ Entonces, hemos terminado. Entonces, supongamos lo contrario; demostraremos que esto lleva a una contradicción. Para cada tamaño suficientemente grande $n$ podemos encontrar $q_n \in V_{1/n} \cap f(M)$ , digamos que $q_n = f(p_n)$ , de tal manera que $q_n \notin S$ . Obviamente $q_n \to f(p)$ . Así, el conjunto $K$ compuesto por todos los $q_n$ junto con $f(p)$ es compacto en $N$ .

Sin embargo, $f^{-1}(K)$ no es compacto, ya que ninguna subsecuencia del $p_n$ puede converger; si existiera tal subsecuencia, digamos $p_{n_k} \to p'$ entonces tendríamos (por continuidad) $f(p') = f(p)$ . Desde $f$ es inyectiva, $p' = p$ . Pero por hipótesis ninguno de los $f(p_{n_k})$ están en $S$ , por lo que ninguno de los $p_{n_k}$ están en $U$ y por lo tanto no pueden converger a $p$ .

Answer 3

El material necesario se encuentra en el Apéndice A de la obra de John Lee Introducción a los colectores suaves (y en otros lugares, seguro, pero me gusta esta fuente). Cuando se utilizan términos un tanto ambiguos como el de incrustación, siempre es mejor definirlos:

• Diremos que $f:X\rightarrow Y$ es una incrustación topológica si es un homeomorfismo sobre su imagen (nótese que $f$ es continua e inyectiva).
• Diremos que $f:X\rightarrow Y$ es una "incrustación suave" si es una incrustación topológica y una inmersión suave (aquí, $X$ y $Y$ son variedades suaves).

La mayor parte de esto tiene que ver puramente con la topología. Sólo al final tratamos las cosas suaves, añadiendo la "inmersión" a todas las condiciones equivalentes existentes.

Afirmación 1. Si $f:X\rightarrow Y$ es una incrustación topológica con imagen cerrada, entonces $f$ es cerrado y propio.

Prueba. Si $C\subset X$ está cerrado, entonces $f(C)$ está cerrado en $f(X)$ (ya que $f:X\rightarrow f(X)$ es un homeomorfismo) y por tanto en $Y$ (ya que $f(X)$ está cerrado en $Y$ ).

Si $K\subset Y$ es compacto, entonces $K\cap f(X)$ es compacto (ya que $f(X)$ está cerrado en $Y$ ) y por lo tanto $f^{-1}(K)$ es compacto (ya que $f:X\rightarrow f(X)$ es un homeomorfismo). $\blacksquare$

Afirmación 2. Si $f:X\rightarrow Y$ es continua, inyectiva y cerrada, entonces $f$ es una incrustación topológica con imagen cerrada (y por tanto propia).

Prueba. Desde $f$ está cerrada, la imagen $f(X)$ está ciertamente cerrado en $Y$ . Además, el mapa $f:X\rightarrow f(X)$ es una biyección cerrada y continua, es decir, un homeomorfismo. $\blacksquare$

Estas dos primeras afirmaciones muestran que $f$ es una incrustación topológica con imagen cerrada si y sólo si $f$ es continua, inyectiva y cerrada. Además, cualquier $f$ es un mapa adecuado.

Afirmación 3. Si $Y$ es Hausdorff localmente compacto (o Hausdorff compactamente generado) y $f:X\rightarrow Y$ es continua y propia, entonces $Y$ está cerrado.

Prueba. Ver este post de MSE o el Teorema A.57 de Lee. $\blacksquare$

Por la afirmación 3, vemos que si $Y$ es Hausdorff localmente compacto (por ejemplo, un colector) y $f:X\rightarrow Y$ es una inyección continua, entonces las siguientes son equivalentes:

• $f$ es apropiado,
• $f$ está cerrado,
• $f$ es una incrustación topológica con imagen cerrada.

Por lo tanto, si $X$ y $Y$ son variedades suaves, las siguientes son equivalentes:

• $f$ es una inmersión propia e inyectiva,
• $f$ es una inmersión cerrada e inyectiva,
• $f$ es una incrustación suave con imagen cerrada.

Answer 4

En lo que a mí respecta, esta propiedad de incrustación requiere que $f(X)$ está cerrado en Y.

Hay un contraejemplo .(Cuando $f(X)$ no está cerrado en Y)

Sea Y = $\{k_\lambda : \lambda \in A\} $ donde A es un conjunto incontable. Sea X $\{k_1,\cdots,k_n,\cdots\}$ un subconjunto contable infinito de A.

La topología de X es una topología discreta, por lo que X no es compacto en X.

Y la topología de Y se define como sigue:

$\{Y,\emptyset, \{\forall k_i \in X:\{k_i\}\}\}$ es la base de la topología de Y. ( $k_i$ es un elemento de X) . Por tanto, Y es un conjunto compacto en Y.

Definir un mapa $f:X \rightarrow Y , f(x)=x$ . Es obvio que $f$ es una incrustación.

Sin embargo, $f^{-1} (Y) =X$ no es compacto en X.