Dos polinomio problemas

Question

Estoy luchando con estos dos problemas:

1) Vamos a $p$ ser un polinomio con coeficientes enteros. Demostrar que para cada secuencia de $k$-a veces repitiendo el polinomio, $n,p(n),p(p(n))=p^{(2)} (n),\ldots,p^{(k)}(n)$, tenemos que tener $k\leqslant 2$ si $p^{(k)}(n)=n$$p(n) \neq n,p^{(2)} (n)\neq n,\ldots,p^{(k-1)}(n)\neq n$.

Después de pensar durante algún tiempo acerca de este problema, tengo la fuerte impresión, que de alguna manera tienen que hacer de utilizar el hecho de que el entero de las raíces de un polinomio con coeficientes enteros, porque el resto de $p^{(k)}$ $p^{(k)} (r)$ donde $r$ es el resto de $p$.

2) Uno tiene que mostrar si existe un polinomio tal que $p(\frac{1}{k})=\frac{1}{2k+1}$, para todos los $k\in \mathbb{N}$.

Mi corazonada es que aquí, que esto sería imposible, ya que $p$ a "oscilar" para mucho...pero no puedo hacer esto precisa.

Cualquier ayuda sería muy apreciada.

EDIT: Segundo problema resuelto. Lo que tengo el primero, y con user9325 de la ayuda: Después de demostrar que la distancia entre la iteración tiene que ser constante, se puede distinguir entre los siguientes casos: Si $p(n)-n=0$, la hemos terminado. Si $\alpha:=p(n)-n \neq0$, entonces tenemos que tener $p^{(2)}(n)=n+2\alpha,\ldots,p^{(k-1)}(n)=n+(k-1)\alpha$, ya que el $n-p(n)=p(n)-p^{(2)}(n)=\ldots=p^{(k-2)}(n)-p^{(k-1)}(n)=p^{(k-1)}(n)-n$. Pero $n-p(n)=p^{(k-1)}(n)-n$ implica que el $p^{(k-1)}(n)=n-\alpha$. La combinación de estos a las ecuaciones relativas a $p^{(k-1)}(n)$ nos da ese $k=0$. Esta debe ser una contradicción, pero no estoy seguro de cómo hacer que el cristal claro...tengo la sensación de que realmente no puedo ver a través de este problema, pero aún así...

Answer 1

1) Utilice el hecho de que $a-b$ divide $p(a)-p(b)$ en esta situación a notar que de forma consecutiva todos los elementos de esta lista tienen la misma distancia y usar esto para probar una versión corregida de lo que escribió (es decir, el más pequeño periodo es 1 o 2, pero, por supuesto, los múltiplos son entonces también períodos).

Dibujar el número de la línea con la primera iteración. Si usted no regresa después de el primer paso, a continuación, usted no puede regresar porque los valores anteriores de la secuencia de bloquear su camino (y que tendría un $2$-ciclo a otro lugar).

Answer 2

2) Se puede observar que el polinomio y la función racional son dos funciones de análisis (en un círculo alrededor de $0$) que coinciden en un conjunto de puntos con un punto de acumulación y a la conclusión de que tendrían que ser iguales, pero son claramente diferentes funciones racionales.

O

Puede ampliar la fracción como una serie geométrica y el aviso de que cualquier polinomio de un grado determinado no se puede hacer una mejor aproximación para pequeñas $1/k$ que el uso de los primeros términos (que es la peatonal manera de hacer el primer argumento en este caso en particular). Por lo tanto, cualquier polinomio será una mala aproximación y por lo tanto malo para las pequeñas $1/k$, o será el inicio de la serie geométrica y por lo tanto nunca exactamente de la serie geométrica.

Answer 3

Para el segundo,

si $\displaystyle P(x)$ es un polinomio de grado $\displaystyle n$, luego tenemos a la

$\displaystyle (2k+1) k^n P(1/k) - k^n = 0$

Ahora $\displaystyle Q(x) = x^n P(1/x)$ es otro polinomio de grado en la mayoría de las $\displaystyle n$.

Así tenemos que

$\displaystyle (2k+1) Q(k) - k^n = 0$ para infinidad de $\displaystyle k$.

Desde $\displaystyle (2k+1) Q(k) - k^n$ es un polinomio demasiado y tiene infinitas raíces, es idéntica a cero.

Ahora establecimiento $\displaystyle k = \frac{-1}{2}$ da lugar a una contradicción. Nota: realmente no necesitamos los coeficientes a ser números enteros.