Otra manera de abordar esto es para demostrar que cada una de estas familias ($\mathcal A_1$, $\mathcal A_2$ y $\mathcal A_3$) es igual a $\sigma(\mathcal A \cup \mathcal N)$ que es la sigma álgebra generada por $\mathcal A \cup \mathcal N$ donde $\mathcal N$ es la colección de subconjuntos de null establece en $\mathcal A$. Este enfoque, que puede ser más trabajo que el enfoque directo de una muestra de $\mathcal A_1 \subset \mathcal A_2 \subset \mathcal A_3 \subset \mathcal A_1$,, tiene un beneficio de hacer ver las motivaciones de cada una de las tres definiciones.
Vamos a empezar con $\mathcal A_1$. Para mostrar que esto es igual a $\sigma(\mathcal A \cup \mathcal N)$, uno sólo debe mostrar que $\mathcal A_1$ es un sigma álgebra que contiene $\mathcal A \cup \mathcal N$, y de que cada elemento de a $\mathcal A_1$ puede ser obtenida mediante la aplicación contable de la unión, contables intersección y complemento varias veces a algunos de los elementos en $\mathcal A \cup \mathcal N$.
Es fácil mostrar que cada elemento de $\mathcal A_1$, $\mathcal A_2$ y $\mathcal A_3$ puede ser obtenida mediante la aplicación contable de la unión, contables intersección y complemento varias veces a algunos de los elementos en $\mathcal A \cup \mathcal N$. Por lo tanto, cada uno de los $\mathcal A_1$, $\mathcal A_2$ y $\mathcal A_3$ es un subconjunto de a $\sigma(\mathcal A \cup \mathcal N)$.
También es fácil demostrar que cada uno de $\mathcal A_1$, $\mathcal A_2$ y $\mathcal A_3$ contiene $\mathcal A \cup \mathcal N$.
Ahora sólo queda demostrar que son sigma álgebra de operadores. Por eso, leer el siguiente hilo primera:
Finalización de una medida de espacio
La pregunta en ese hilo tiene que ver con una colección que usted puede ver fácilmente es igual a $\mathcal A_3$ (Igualdad se sigue de $A \Delta B = C \iff B \Delta C = A \iff C \Delta A = B$).
Michael Greinecker la respuesta en el hilo que contiene una prueba de que el hecho de que $\mathcal A_2$ es un sigma álgebra.
Jisang responde en ese hilo contiene una prueba de que el hecho de que $\mathcal A_3$ es cerrado bajo finito de la unión, pero se puede generalizar la prueba para demostrar que es cerrado bajo contables de la unión así.
Como para demostrar que $\mathcal A_1$ es cerrado bajo contables de la unión, vamos a $(A_i)$ ser una secuencia de elementos en $\mathcal A_1$. Para cada una de las $i$, $A_i'$ $A_i''$ $\mathcal A$ que se aproximan a $A_i$ desde abajo y en el sentido de que $A_i' \subset A_i \subset A_i''$$\mu(A_i'' \setminus A_i') = 0$.
Cabría esperar que la unión de $\bigcup_i A_i$ sería aproximar por $\bigcup_i A_i'$ $\bigcup_i A_i''$ en el mismo sentido. Es cierto que $\mu(\bigcup_i A_i'' \setminus \bigcup_i A_i') = 0$ se mantiene? Sí, porque el total final de la excepción establecida $\bigcup_i A_i'' \setminus \bigcup_i A_i'$ restante debe ser cubierto por la unión de la excepción que establece que iniciamos, es decir,$A_i'' \setminus A_i'$, pero estos son null conjuntos.
