¿He contado bien el límite de esta función? $\lim_{x\to1}\frac{x-1}{x^n-1}$ ?

Question

Dada: $\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x-1}{x^{n}-1}, x \in \mathbb{R}$

Como realmente no se puede obtener el límite con la función actual dada, he utilizado la regla de L'Hôpitals.

$f(x) = x-1$

$f'(x) = 1$

$g(x) = x^n-1$

$g'(x) = nx^{n-1}$

Así que tenemos:

$\lim_{x\rightarrow 1}\frac{1}{nx^{n-1}} = 0$ para $n>1$

Lo que me confunde mucho es que no sé nada de $n$ . Entonces, ¿puedo hacerlo así y definir $n$ ¿a mí mismo? Si es correcto, ¿sería mejor que escribiera "para cualquier n grande" en lugar de $n>1$ ?

Edición: La solución correcta es $1/n$ no $0$ ¡!

Answer 1

Casi todo lo que has hecho (en el momento en que escribo esto) está perfectamente bien. La respuesta es $1/n$ no $0.$ Además, no entiendo qué quiere decir con "definir $n$ yo mismo". No necesitas saber nada sobre $n$ para tomar la derivada de $x^n-1$ Siempre y cuando $n$ es una constante no nula y no otra variable (en el sentido de que $x$ es una variable).

Tenga en cuenta también que si $n$ se sabe que es un número entero positivo, entonces se puede factorizar $x^n-1$ para conseguir $$ x^n - 1 = (x-1)(x^{n-1} + x^{n-2} + \cdots + x^2 + x + 1) $$

Entonces puede cancelar el $x-1$ del numerador y el denominador. Y como hay $n$ en el segundo factor del lado derecho, se obtendrá la misma respuesta de $1/n.$

Answer 2

$$\frac{x-1}{x^n-1}=\frac 1{\dfrac{x^n-1}{x-1}}. $$ Ahora el denominador es la tasa de variación de la función $x^n$ en $x=1$ por lo que su límite es la derivada $nx^{n-1}$ en $x=1$ . Así que $$\frac{x-1}{x^n-1}\xrightarrow[x\to 1]{}\frac 1n. $$