Deje $X$ ser un Hausdorff Compacto Conectado Espacio. Demostrar que $X\setminus\{x\}$ no puede ser expresada por la inconexión de la unión de dos conjuntos conectados con uno de ellos ser compacto.(vamos a suponer que el conjunto vacío está conectado)
Así, traté de una demostración por contradicción:
Si $X\setminus\{x\}$ está conectado, entonces si $X\setminus\{x\}$ es compacto, es un subespacio cerrado de $X$ (debido a $X$ es Hausdorff) y por lo tanto es una clopen en $X$. Por eso, $X\setminus\{x\}$ no puede estar desconectada. Supongamos que hay distintos conjuntos conectados $U$ $V$ $X\setminus\{x\}$ tal que $$X\setminus\{x\} = U \cup V$$ Y $U$ es un conjunto compacto. $U$ no se puede abrir en $X\setminus \{x\}$ (o de lo contrario sería una clopen conjunto de $X$). Pero como $U \cup V =X= \cup_{i\in I} A_i$ $A_i$ abierto conectado subconjuntos de a $X\setminus \{x\}$. Debido a $U$ está conectado, $U \subset A_{i_1}$ y lo mismo va para $V \subset A_{i_2}$. $X \subset U \cup V \subset A_{i_1} \cup A_{i_2}$. Debido a $X$ no está conectado, $i_1 \neq i_2$. También, debido a $A_{i_2} \cap U = \emptyset$ y, a continuación, $A_{i_2} = V$ y, por tanto, $U = A_{i_1}$ $U$ es abierto, una contradicción.
Como se indicó, la proposición es falsa (verificación de Brian respuesta). He corregido en otra pregunta: Complemento de un punto de un Compacto Conectado Espacio de Hausdorff no tiene compacto maximal conectado subespacio
