Problema 9 capítulo 5 de PMA Rudin

Question

Deje $f$ ser una función real continua en $\mathbb{R}^1$, de los cuales se sabe que $f'(x)$ existe para todas las $x\neq 0$ y $f'(x)\to 3$$x\to 0$. De lo anterior se sigue que el $f'(0)$ existe?

Mi prueba: Considerando $(a,b)=(-\infty,0)$ vamos a aplicar el teorema 5.13 (L'Hospital de la regla), llegamos a que $$\lim_{t\to 0-}\dfrac{f(t)-f(0)}{t-0}=\lim_{t\to 0-}f'(t)=3.$$

Considerando también la posibilidad de $(a,b)=(0,+\infty)$ volvemos a aplicar el teorema 5.13 y conseguir que el $$\lim_{t\to 0+}\dfrac{f(t)-f(0)}{t-0}=\lim_{t\to 0+}f'(t)=3.$$ Por lo tanto $f'(0)=3.$, por Lo que la respuesta es significativa.

Es mi prueba correcta?

Answer 1

La prueba es correcta. Si te gusta, también puede utilizar el valor medio teorema:

Deje $t>0$, entonces no es$s_t \in (0,t)$, de modo que

$$\frac{f(t) -f(0)}{t-0} = f'(s_t).$$

Como $s_t \to 0$$t\to 0$, tenemos

$$\lim_{t\to 0^+} \frac{f(t) -f(0)}{t-0} = \lim_{t\to 0^+} f'(s_t) = 3.$$

Similares para la izquierda límite.