La Aritmética de Peano tiene dos axiomas que usar el símbolo de la multiplicación: ∀x:x*0=0 y ∀x:∀y:x*Sy=x+x*y. El 2-término de relación "x divide a y" se puede expresar como D(x,y) := ∃z:z*x=y. La multiplicación es una función y la divisibilidad es una relación, por lo que en el fin de comparar manzanas y manzanas, considere la posibilidad de la 3-plazo relación M(x,y,z) := x*y=z y los axiomas ∀x:M(x,0,0) y ∀x:∀y:∃u:∃v:M(x,Sy,u)∧M(x,y,v)∧v+x=u, y también el hecho de que M es una función ∀x:∀y:∀u:∀v:(M(x,y,u)∧M(x,y,v))→u=v. Ahora D puede ser definido en términos de M por D(x,y) := ∃z:M(z,x,y). Me pregunto si es posible realizar el proceso inverso, y definir la multiplicación en términos de divisibilidad. Si el M axiomas son reemplazados por algunos D los axiomas (tal vez ∀x:D(x,x), ∀x:D(x,0), y otros), M puede ser expresada en términos de D? Primer, MCD, MCM, todo puede ser definido en términos de D por sí sola, pero no sé cómo definir M en términos de D, ni sé cómo axiomatize D sin referencia a M. Si es posible, lo que los axiomas son necesarios para la relación de divisibilidad, y cómo es la multiplicación de la relación definida? Si no, ¿por qué no?
Respuestas
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Mi respuesta está redactado en términos informales, principalmente para hacer escribiendo menos tedioso. Supongo que tienes la suficiente experiencia para convertir la respuesta en un formal. La desventaja es que eso haría que la cosa parezca más complicado de lo que realmente es. En la producción de la definición, no hago ningún intento de eficiencia.
Supongamos que hemos elaborado una definición de divisibilidad de la relación $\text{Square}(s,t)$ donde $\text{Square}(s,t)$ " $t$ es el cuadrado de $s$."
Entonces podemos fácilmente producir una definición de su $\text{M}(x,y,z)$ utilizando el hecho de que $(x+y)^2=x^2+ 2xy + y^2$.
De hecho, $\text{M}(x,y,z)$ si y sólo si existen $u$, $v$, y $w$ tal que $\text{Square}(x,u)$ $\text{Square}(y,v)$ $\text{Square}(x+y,w)$ $w=u+z+z+v$.
Ahora queremos definir la relación $\text{Square}(s,t)$ de la divisibilidad. Tenga en cuenta que $s$ $s+1$ son relativamente primos, por lo $s^2+s$ es el MCM de a$s$$s+1$. Por lo tanto $t=s^2$ precisión si existe $u$ tal que $u$ es el MCM de a$s$$s+1$, e $s+t=u$.
El LCM es fácil de manipular y usar sólo la divisibilidad, así que es todo allí está a él.
No, no en general. Usted puede definir la multiplicación de la relación en términos de la división de función, pero esto sólo le da una verdad, a la condición de M(x,y,z) que dice que si z es el producto de x e y. No te da un mecanismo para la generación de la z de x e y: para que usted necesita para ser capaz de demostrar que la multiplicación relación especifica un total de función.
Y esto no es siempre posible:
- Hay débiles de las teorías de la aritmética para que la división es total, pero donde, a pesar de la multiplicación de la relación que existe, y especifica la espera se triplica, la relación no puede probar que la multiplicación es total (y así lo admita no estándar de los modelos en los que hay multiplicación de las relaciones, pero todos tienen "agujeros" en número no estándar de los parámetros y por lo tanto no son funciones);
- Peor aún, hay debilidad de las teorías que sería dictada incompatible con la adición de un axioma afirmar que la multiplicación total de la función. Todos los auto-verificación de teorías son de este tipo.
