Demostrar que una función es continua de Hölder

Question

Dejemos que $\alpha\in(-1/2,0)$ y $x\in (0,1)$ . Definir la función $$f(x) = \int_x^1 z^{\alpha-\frac{1}{2}} (z-x)^{\alpha}dz.$$

Tengo la sensación de que $|f(x)-f(y)| \leq C|x-y|^{1/2}$ o cualquier otra potencia entre 0 y 1. La integral (impropia) es convergente por lo que cabe esperar que la función resultante sea continua de algún grado de Hölder. ¿Alguien ve una forma rápida de demostrarlo?

Gracias por cualquier sugerencia.

Answer 1

Supongamos que $x\in [\epsilon,1-\epsilon]$ para un fijo $\epsilon>0$ . El cambio de variable $t=z-x$ produce $$f(x) = \int_0^{1-x} (x+t)^{\alpha-1/2} \, t^{\alpha}\,dt \tag{2}$$ La diferenciación formal da como resultado la función $$ g(x) = -(1-x)^{\alpha}+ \left(\alpha-1/2\right)\int_0^{1-x} (x+t)^{\alpha-3/2} \, t^{\alpha}\,dt \tag{2}$$ que está acotado en $x\in [\epsilon,1-\epsilon]$ por la constante $$C=\epsilon^\alpha + \left|\alpha-1/2\right| \epsilon^{\alpha-3/2} \int_0^{1} \, t^{\alpha}\,dt =\epsilon^\alpha + \left|\alpha-1/2\right| \epsilon^{\alpha-3/2} (1+\alpha)^{-1} $$ La integrabilidad de $g$ permite intercambiar el orden de integración, obteniendo
$$ f(x) = f(\epsilon) + \int_\epsilon^x g(t)\,dt $$ Así, $f$ es continua de Lipschitz en $x\in [\epsilon,1-\epsilon]$ . En particular, $f$ es localmente continua en $(0,1)$ .

Como $x\to 1$ la derivada $f'=g$ se comporta como $(1-x)^{\alpha}$ . Así, $f'$ está en $L^2([\epsilon,1))$ , lo que da como resultado $f\in C^{1/2}([\epsilon,1))$ por un argumento habitual de Cauchy-Schwarz (versión 1D de la incrustación de Morrey-Sobolev): $$ |f(x)-f(y)| = \left|\int_x^y f' \right| \le \sqrt{y-x}\sqrt{\int_x^y |f'|^2} \le C\sqrt{y-x} $$ con $C=\sqrt{\int_\epsilon^1 |f'|^2}$ .

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Como mencioné en un comentario, la continuidad uniforme en $(0,1)$ falla cuando $\alpha\le -1/4$ porque $f(x)\to\infty$ como $x\to 0$ el integrando converge a $z^{2\alpha-\frac12}$