Infinita suma de Riemann de $x^3$

Question

Escribir

$$\int_{1}^{3} x^3 dx$$ como una suma de riemann.

Aquí es lo que yo pensaba:

$$\Delta(x) = \frac{2}{n}$$

$$f(x) = (\Delta(x)k)^3 = \left(\frac{2k}{n}\right)^3$$

$$I = \int_{1}^{3} x^3dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{2}{n}\cdot \left(\frac{2k}{n}\right)^3$$

Pero la suma evalúa a $4$ en lugar de $20$ que es el valor real...?

Answer 1

Usted se olvidó de 1:

$$I = \int_{1}^{3} x^3dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{2}{n}\cdot \left(1+\frac{2k}{n}\right)^3$$