Nueva serie de la fórmula para $\arctan(x)$?

Question

Descubrí esta ecuación, pero no tienen idea de si se ha descubierto previamente. Por favor, ayudar a determinar si se ha desarrollado previamente. O por favor, probar que la ecuación no es correcto.

$$\sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n+1}}{(x^2+1)^{n+1}}\cdot\frac{(2n)!!}{(2n+1)!!}=\arctan(x),$$

para $|x|\leq \pi$ o, posiblemente, en todas las $x$.

Answer 1

Vamos a hacer que se vea bonito.

∑[(x^(2n+1))/((x^2+1)^(n+1))]*[(2n!!)/(2n+1)!!]

Usted dice $\arctan(x) =\sum\dfrac{x^{2n+1}}{(x^2+1)^{n+1}}\dfrac{(2n)!!}{(2n+1)!!} $

Desde $(2n+1)!! =\prod_{k=1}^n (2k+1) =\dfrac{\prod_{k=1}^n (2k)(2k+1)}{\prod_{k=1}^n (2k)} =\dfrac{(2n+1)!}{2^nn!} $ y $(2n)!!=2^nn! $, esto se convierte en $\arctan(x) =\sum\dfrac{x^{2n+1}}{(x^2+1)^{n+1}}\dfrac{2^nn!}{\dfrac{(2n+1)!}{2^nn!}} =\sum\dfrac{x^{2n+1}}{(x^2+1)^{n+1}}\dfrac{(2^nn!)^2}{(2n+1)!} $.

Esta serie parece ser debida a Euler y es en el Artículo de Wikipedia sobre "Funciones trigonométricas inversas" al final de la sección en la serie infinita:

https://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_trigonometric_functions#Infinite_series

Lo que han encontrado es, como era de esperar, no es nuevo. Sin embargo, si usted se ha encontrado por sí mismo, que es bastante impresionante.