Tengo una pregunta respecto a la factorización de $f(x) = x^4 - 3x^2 + 2x + 1 \in \mathbb Q[x]$. Porque del Teorema I, la única racional raíces de $f(x)$$\pm 1$. Mediante la sustitución de ellos podemos ver que no son raíces. Por lo tanto $f(x)$ no tiene factores lineales. Así que si $f(x)$ podría ser escrito como un producto de factores irreducibles, entonces ellos deben tener el grado dos. Debido Teorema II (aquí es donde no entiendo por qué el Teorema II se aplica), podemos elegir los factores que han entero de los coeficientes. Suponemos \begin{align*} x^4 - 3x^2 + 2x + 1 & = (x^2 + ax + b)(x^2 + cx + d) \\ & = x^4 + (a+c)x^3 + (b+d+ac)x^2 + (bc + ad)x + bd. \end{align*} Mediante la comparación de los coeficientes de whe encontrar $$ a + c = 0, \quad b + d + ac = -3, \quad bc + ad = 2, \quad bd = 1. $$ Estas ecuaciones no tienen en común entero solución, porque de $bd = 1$ debe $b = d = \pm 1$ y, a continuación, $b(a+c) = \pm 2$ en contradicción a $a+c=0$. Por lo tanto el polinomio $f(x)$ es irreducible en a $\mathbb Z[x]$ y por lo tanto también en $\mathbb Q[x]$.
Teorema I: Vamos a $R$ ser un UFD y deje $K$ ser su campo de cocientes. Deje $p(x) = a_0 + a_1x + \ldots + a_n x^n \in R[x]$. Si $\frac{r}{s} \in K$ con $r,s \in R, s \ne 0$, $r$ y $s$ coprime y $p(\frac{r}{s}) = 0$,$r \mid a_0$$s \mid a_n$.
Teorema II: Vamos a $R$ ser un UFD y deje $K$ ser su campo de cocientes. Entonces
(i) Para cada $g(x) \in K[x] \setminus \{ 0 \}$ existe $a \in K$ $g_1(x) = ag(x) \in R[x]$ $g_1(x)$ es primitivo.
(ii) Si $f(x), g(x) \in R[x]$ $g(x)$ primitiva, la siguiente consecuencia tiene $$ f(x) = ag(x) \textrm{ con $a \in K$} \Rightarrow \R $$
En la prueba, donde Teorema II se aplica, no entiendo por qué tenemos que suponer que los coeficientes son enteros, porque cuando me miro en el Teorema II debe ser el caso de que por el cambio de los coeficientes para un entero multiplicamos cada coeficiente (por el denominador común), pero luego de una normativa polinomio ya no es normativa en general, pero los polinomios en la factorización, se asume normativa?
