Topología y el axioma de elección

Question

Es un ejercicio fácil para demostrar que si $X$ es de primera contables a continuación, para cada punto de $x$ y cada subconjunto $A$ tenemos $x \in \text{cl}A$ fib existe una secuencia $(x_n)_n$ que converge a $x$.

Bien, este usa el axioma de elección para crear la secuencia de (creo). ¿Qué pasaría si no lo tenemos? (Sé que en la topología es mucho mejor tener a CA pero quiero averiguar qué sucede).

Answer 1

Algunos trabajos: Desastres en la métrica de la topología sin elección

Continuando horrores de la topología sin elección

y las referencias allí contenidas.

Answer 2

Esto es consistente con los axiomas de ZF que hay un denso conjunto de reales $D\subset\mathbb{R}$ no tener contables subconjunto. Un conjunto es infinito, pero Dedekind finito. De ello se sigue que cualquier punto en $\mathbb{R}-D$ es en el cierre de $D$, pero no un límite de cualquier secuencia de $D$, ya que cualquiera de estos secuencia daría lugar a una contables subconjunto de $D$.

Mientras tanto, su argumento no requiere de CA completa, pero sólo contables de CA, ya que están haciendo countably muchas opciones de puntos más y más a $x$.

Answer 3

Tenga en cuenta que dependiendo de la forma en que hemos definido la topología y cómo usted desea utilizar, deberá opción para obtener el contable de base en cada punto en el espacio. Por lo tanto, incluso si usted tiene dependientes (contables) elección, no puede ser sutilezas.

Por ejemplo, supongamos que trabajamos en ZF+DC+DC. A continuación, $\omega_1$ con la topología usual es de primera contables y podemos incluso presentan una contables de base local en cada punto de $\aleph\in\omega_1$, es decir, la colección de semi-abierta intervalos $\{(\beta,\alpha] : \beta<\alpha\}$ --- podemos, incluso, el fin de este en orden-tipo de $\omega$. Sin embargo, no podemos de manera uniforme el fin de todas las bases en orden de tipo $\omega$. Es decir, no hay ninguna función $f:\omega_1\times\omega\to P(\omega_1)$ tal que $\{f(\alpha,n) : n\in\omega\}$ es una base local en $\alpha$. (Recordar que el ANUNCIO implica que no hay secuencia $\{C_\lambda\subseteq\lambda\}_{\lambda\in\omega_1}$ tal que $C_\lambda$ es cofinal subconjunto de $\lambda$ con el fin de tipo $\omega$.