Es allí cualquier operador ♤ tales que la operación anterior es cierto para cualquier número a, b y a+b tales que hacen el buen logarithmands (sus registros se definen)? Supongo que si ♤ existe, entonces es único (al menos para tales valores); se puede dar una prueba/contraejemplo de esta afirmación? ¿Qué es este operador ♤ en términos de la más común de los operadores aritméticos; se puede describir este nuevo operador para mí? (Supongo que podríamos describir en términos de series de Taylor.) Es ♤ realmente útil para nada? Último, podemos repetir este proceso en el que nos encontramos con un operador ♧ que se divide un logaritmo de una cantidad dada por ♤?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
HappyEngineer
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$$x♤y=\log(e^x+e^y)$$ tiene esta propiedad. Es el único operador.
Si te refieres a "tiene un nombre," no, no. A menos que usted quiera llamarlo el pullback de $+$ $\mathbb R^+$ a través de la función de $e^x:\mathbb R\to\mathbb R^+$. Es ciertamente inútil, pero ¿quién sabe?
La prueba es única, es bastante fácil. Deje $a=e^x$$b=e^y$. Entonces si $♤$ tiene esta propiedad, a continuación, $$\log(e^x+e^y)=\log(a+b)=\log (a)♤\log(b)=x♤y$$
En general, si $\star$ es un operador binario en $\mathbb R^+$ podemos definir un binario $♧$ $\mathbb R$ como:
$$x ♧y=\log(e^x\star e^y)$$
La pregunta clave es, es $♤$ operación $\mathbb R^+$? Es decir, si $x,y\in\mathbb R^+$$x♤y\in\mathbb R^+$? Se los dejo a ustedes para que respondan.
