La prueba de que $\frac{S_n}{n}$ converge casi seguramente a $\mu$

Question

Estoy tratando de demostrar que, dado $(X_i)$ i.yo.d., $E[X_i^2] < \infty$, $\mu := E[X_i]$ a continuación, $P\Big [ \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{S_n}{n} = \mu \Big ] = 1$ donde $ S_n := \sum_{k=1}^n X_k$.

Hasta el momento, he reescrito $P\Big [ \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{S_n}{n} = \mu \Big ]$

$$ \lim_{k \rightarrow \infty} P \Big [ \cap_{n \geq k} \{ \omega \Big | |\frac{S_n}{n} - \mu| < \varepsilon \} \Big ]$$

Pero no estoy seguro de cómo proceder a partir de aquí. Tengo $$ \sum_{n} P\Big [ |X_n - X|  > \varepsilon \Big] < \infty \Rightarrow P\Big [ \lim_n X_n = X \Big ] = 1$$ which I think I should apply but I don't see how. Can anyone help me with this? Also, I don't see where $E[X_i^2] < \infty$. Muchas gracias por tu ayuda!

Answer 1

Una prueba de la fuerte ley de los grandes números pueden ser más o menos complicado dependiendo de su hipótesis. En su caso, ya que se supone que $E[X_i^2]<\infty$ hay una sencilla prueba. Estoy tomando este de la sección 7.4 de la tercera edición de Probabilidad y Procesos Estocásticos por Grimmett y Stirzaker.

En primer lugar, por la división en positivo y negativo partes podemos suponer (sin pérdida de generalidad) que $X_i\geq 0$.

En segundo lugar, mediante la positividad, es suficiente demostrar que $S_{n^2}/n^2\to\mu$, casi con toda seguridad; es decir, sólo necesitamos la convergencia a lo largo de esa larga.

Siguiente, la desigualdad de Chebyshev da
$$P(|S_{n^2}/n^2-\mu|>\varepsilon_n)\leq{E[X_i^2]\over n^2\varepsilon_n^2}.$$

La elección de $\varepsilon_n\downarrow 0$ tan lentamente que el lado derecho de arriba es summable, Borel-Cantelli termina el trabajo desde entonces $$P(|S_{n^2}/n^2-\mu| \leq \varepsilon_n \mbox{ for all but finitely many }n) = 1.$$

De hecho, el fuerte de la ley de los grandes números tiene bajo la hipótesis más débil que $E[|X_i|]<\infty$. Hay varias evidencias en la literatura, pero cada estudiante de probabilidad debe estar familiarizado con Etemadi del tour de force de primaria prueba. Etemadi utiliza un ingenioso truncamiento argumento y herramientas similares a los anteriores, y sólo necesita pares de la independencia de la $X_i$'s, no de la independencia. Algunos buenos libros de texto como Grimmett y Stirzaker (sección 7.5), Billingsley de la Probabilidad y Medida (2ª edición), o Durrett de la Probabilidad: Teoría y Ejemplos (2ª edición) incluyen Etemadi del tratamiento.

N. Etemadi, Una escuela primaria prueba de la fuerte ley de los grandes números, Z. Wahrscheinlichkeitstheorie verw. Gebeite 55, 119-122 (1981)

Answer 2

Este es el fuerte de la ley de los grandes números.

Si desea una medida teórica de la prueba, echa un vistazo a estos apuntes: http://staff.science.uva.nl/~spreij/onderwijs/master/mtp.pdf

Es en el párrafo 10.4.