¿Cómo puedo encontrar un subconjunto de un conjunto con "la mitad" de la original?

Question

deje $E\subset\Bbb R$ Lebesgue-medible con $m(E)\lt \infty $, demostrar que existe $A\subset E$ Lebesgue-medible tal que $m(A)=m(E)/2$.

He intentado esto

Para cada $k\ge 1$ existe $\{I_n^k\}$ $E\subset \cup_1^\infty I_n^k$ tal que $m(E)+ \frac{1}{k} \ge \sum_{n\in\Bbb N} m(I_n^k)$

cuttin cada $I_n^k$ a la mitad (para k fijo), conseguimos $\frac{m(E)+ \frac{1}{k}}{2} \ge \sum_{n\in\Bbb N} m(\dot I_n^k)$ (donde $\dot I_n^k$ es la "cortada en la mitad de $ I_n^k$)

No sé qué hacer a continuación.

Answer 1

Considere la función $f : \Bbb R \to [0, \infty)$, $f(x) = m(E \cap [-x, x])$. Esta función es continua, como se puede demostrar fácilmente. Desde $f(0) = 0$, $\lim_{x\to\infty} f(x) = m(E)$, el teorema del valor intermedio da el resultado deseado. De hecho, da la más fuerte resultado que para cualquier $\lambda \in [0, m(E)]$, uno puede encontrar un subconjunto de a $E$ medida $\lambda$.

Answer 2

Un método natural que me gusta y funciona en cualquier no-atómica medir el espacio es como sigue:

(No atómica significa aquí que cada vez $E$ es medible y $0<\mu(E)<\infty$, no es mensurable $A\subset E$$0<\mu(A)<\mu(E)$.)

Nota primero que para cualquier $\epsilon>0$ podemos suponer que la $A$ como el anterior tiene una medida menor que $\epsilon$: Divida $E$ en dos piezas de medida positiva. Uno de ellos ha de medir en la mayoría de las $\mu(E)/2$. Repita.

Ahora bien, dado $E$, lo anterior nos da que el $E$ tiene un subconjunto $A$ de medida positiva en la mayoría de las $\mu(E)/2$, decir $t$. Es $t<\mu(E)/2$, el resto de los $E\setminus A$ tiene un subconjunto de medida positiva en la mayoría de las $\mu(E)/2-t$. Repita. Puede que tengamos que repetir transfinitely, pero con el tiempo vamos a obtener un discontinuo de la colección de subconjuntos medibles de $E$ cuyas medidas suman exactamente $\mu(E)/2$. Dos puntos deben ser mencionados: El proceso se detiene después de countably muchos pasos. De lo contrario, $E$ contiene una cantidad no numerable de subconjuntos disjuntos de medida positiva, y por lo tanto tiene medida infinita, en contra de la hipótesis. Dado que el proceso se detiene después de countably muchos pasos, los sindicatos de estos conjuntos disjuntos es medible y tiene una medida de precisión $\mu(E)/2$.

Answer 3

Considerar su conjunto se cruzaba con la colección de racional de los intervalos de la forma $(k/2^m,(k+1)/2^m)$ por entero $m \geq 0$ y todos los números enteros $k$. Si usted elige $m$ lo suficientemente pequeño, usted será capaz de encontrar un subconjunto de los intervalos que hace dentro de $1/2^m$ de su medida $\leq m(E)$ cuando se cruzan su conjunto $E$ con la colección de intervalos. Entonces, dependiendo de cómo de cerca está el destino que desea medir, escoger un nuevo $m$ y repita el proceso, la elección de los intervalos que no son subconjuntos de los intervalos que usted eligió en iteraciones anteriores. Y así sucesivamente. Cuando usted toma la unión a lo largo de todas las $m$ que la utiliza, y cruzan la colección de intervalos que se utilizan con su conjunto $E$, se obtiene un conjunto que tiene el objetivo deseado de medida $\leq m(E)$. En particular, usted puede obtener un conjunto con medida $m(E) / 2$.