Ejercicio II-14 de Eisenbud-Harris, esquema límite isomorfo al punto triple y recuerda tanto la línea tangente, como la osculación $2$ -plano a subesquema

Question

Dejemos que $C$ sea el subesquema de $\mathbb{A}_K^n$ dado por el ideal $$J = (x_2 - x_1^2, x_3 - x_1^3, \ldots).$$ Un punto cerrado en $C$ es de la forma $f(t) = (t, t^2, t^3, \ldots, t^n)$ , para $t \in K$ es decir, tiene el ideal $(x_1 - t, x_2 - t^2, \ldots)$ . Considera para $t \neq 0$ el subesquema de tres puntos $$X_t = \{f(0), f(t), f(2t)\} \subset C.$$

1. ¿Cómo puedo ver que el esquema de límites como $t \to 0$ es $$X_0 = \text{Spec}\,K[x_1, \ldots, x_n]/(x_2 - x_1^2, x_1x_2, x_3, x_4, \ldots, x_n)$$ y es isomorfo al punto triple $\text{Spec}\,K[x]/(x^3)$ ¿arriba?
2. ¿Cómo puedo ver que $X_0$ no está contenida en la línea tangente a $C$ en el origen, y que más bien, el subespacio más pequeño de $\mathbb{A}_K^n$ en el que $X_0$ mentiras es la osculación $2$ -avión $$x_3 = x_4 = \ldots = x_n = 0$$ a $C$ mientras que la línea tangente a $C$ es el subespacio más pequeño de $\mathbb{A}_K^n$ que contiene el subesquema definido por el cuadrado del ideal máximo en el anillo de coordenadas de $X_0$ ? Así, en este sentido, $X_0$ "recuerda" tanto la línea tangente como la osculante $2$ -Avión a $C$ .

Answer 1

1. El ideal de la unión de los tres puntos tiene generadores $$c_{ijk} = x_i(x_j - t^j)(x_k - (2t)^k).$$ En particular, el ideal $I$ del límite contiene todos los productos triples de monomios, por lo que $m^3 \subset I$ . Ahora, considere la diferencia $c_{ijk} - c_{ikj}$ , donde $k < j$ . Dividiendo por $t^k$ y a continuación, establecer $t$ igual a cero en la expresión anterior, vemos que $x_ix_j \in I$ . Así, $I$ contiene $x_ix_j$ si $ij \ge 2$ . Ahora, considere las triples diferencias $$ac_{ijk} + bc_{jki} + cc_{ikj},$$ donde elegimos $a$ , $b$ y $c$ para matar los dos primeros términos, ampliando en potencias de $t$ . En este caso, si $i < j < k$ el próximo plazo será $t^\alpha x_k$ para una potencia adecuada de $t$ . Pero entonces $x_k \in I$ , para $k > 2$ . Por último, la diferencia $c_{211} - c_{121}$ muestra que $x_2 - x_1^2 \in I$ . Como el cociente $${{k[x_1, x_2, \ldots, x_n]}\over{\langle x_2 - x_1^2, x_1x_2, x_3, x_4, \ldots, x_n\rangle}}$$ tiene una longitud de tres, el resultado es el siguiente.
2. La línea tangente viene dada por $\langle x_2, x_3, \ldots, x_n\rangle$ que no está contenida en $I$ ya que $x_2 \notin I$ . Por otro lado, el truncamiento de $X_0$ contiene la línea tangente. Por lo tanto, el espacio lineal más pequeño que contiene $X_0$ tiene una dimensión de al menos dos, y debe contener la línea tangente. Como $I$ contiene el ideal del plano osculante dos dado por $\langle x_3, x_4, \ldots, x_n\rangle$ hemos terminado.