Arreglos de afín hyperplanes

Question

Fix$n>0$$X\subseteq\mathbb{R}^n$. Llamar a una función $f:X\longrightarrow \mathbb{R}$ lineal si es de la forma $$f(\bar{x})=a_1x_1+\ldots+a_nx_n+b$$ para algunos $a_i,b\in\mathbb{R}$.

Ahora supongamos que tenemos de las funciones lineales $f_1,\ldots,f_t$ $g_1,\ldots,g_t$ con la siguiente propiedad:

Para todos los $i\in\{1,\ldots,t\}$, y para todos los $\bar{x}\in X$,

$$\textrm{hay }j,k\in\{1,\ldots,t\}\textrm{ tales que }f_i(\bar{x})\leq g_j(\bar{x})\textrm{ y }f_k(\bar{x})\leq g_i(\bar{x}).$$

Es cierto que debe haber alguna $i,j\in\{1,\ldots,t\}$ tal que $f_i(\bar{x})\leq g_j(\bar{x})$ todos los $\bar{x}\in X$?

Answer 1

Vamos a tratar el caso de $n=1$.

Supongamos que no es cierto que no existe $i,j$ tal que $f_i \leq g_j$ sobre todo $X$. A continuación, para cada par de $i,j$ podemos optar $x_{ij} \in X$ tal que $f_i(x_{ij}) > g_j(x_{ij})$. Deje $a=\min_{i,j}(x_{ij})$$b=\max_{i,j}(x_{ij})$.

Sobre la numeración de las $g_i$ si es necesario, podemos asumir que $g_1(a)$ es el valor más pequeño de una de las $g_i$ alcanza a $a$. Por supuesto, existe $k$ tal que $f_k(a) \leq g_1(a)$, y nuestra suposición sobre la $[a,b]$ por encima asegura que $f_k(b) > g_1(b)$ ($f_k$$g_1$ se cruzan en $[a,b]$, y líneas que se cruzan en más de una vez). Por lo tanto, no debe existir $j$ tal que $f_k(b) \leq g_j(b)$. De nuevo por la construcción de $[a,b]$ existe $\xi \in [a,b)$ tal que $f_k(\xi) > g_j(\xi)$. En particular, debemos tener $g_j(a) < f_k(a) \leq g_1(a)$, lo que contradice minimality de $g_1(a)$.

Answer 2

Yo tenía una idea para acercarse de una manera diferente, y después de luchar contra ella, la tomó de un caso más sencillo, donde cada una de las $f$ o $g$ sólo tiene un elemento que es distinto de cero, en la esperanza de que esto sigue siendo útil y sugiere una ruta de acceso para el caso general.

Para el caso cuando cada una de las $f$ o $g$ sólo tiene un elemento que es distinto de cero (es decir, los planos son 'eje' alineados):

Dado un índice $p$$n$, podemos construir un vector $\bar v$ $X$ 1$p$, de posición y de otra manera $0$s, y siguiendo la dirección de la $\bar v$ hay algún punto más allá del cual una función de $f$` tener el mayor valor negativo en la posición p se convierte en (y sigue siendo) el mínimo de la función $f$.

Esto nos da una cota inferior para los componentes de la $p$ posición para todas las funciones en $g$ - desde cualquier $g$ que tiene un valor bajo en el $p$ posición caerá por debajo y se mantienen $f$` en la dirección de $\bar v$, y rompe así una suposición.

Dirige en la dirección inversa de a $\bar v$, podemos encontrar un punto en el que el mismo $f \prime$ (o algunos paralelos $f\prime\prime$ por encima de él con la igualdad de mayor componente negativo en la posición $p$) se convierte en y sigue siendo el máximo de $f$ función. Desde $f \prime$ $f \prime\prime$ compartir el componente en la posición p nos interesa, vamos a tomar el caso en que $f \prime$ es la parte superior de la función, sin pérdida de generalidad.

Ya sabemos que debe haber al menos una función de $g \prime$ que es el tiempo por encima de $f \prime$ y se mantiene por encima de $f \prime$, en este sentido, la asunción (ya que hay un número finito de $g$, eventualmente, al menos, uno de los $g \prime$ debe permanecer por encima de $f \prime$ hasta el infinito), sabemos que esto $g \prime$ debe tener un valor en la posición p de no más de que de que de $f \prime$, ya que de lo contrario se caerá por debajo de $f \prime$.

Así que ahora tenemos un límite máximo para la posición de p $g \prime$, y dado que es igual a la mínima obligado tenemos arriba para todos los g en esta posición, tenemos una igualdad para esta posición p (al menos uno) $g \prime$.

Las conclusiones, a continuación, de la siguiente manera, ya que para cada posición de $p$, podemos determinar que la función de $f \prime$ a que el valor mínimo de todos los $f$ en esta posición, tiene algo de $g \prime$ paralelo y $\ge$ a (posiblemente también en paralelo y $\ge$ a algunos paralelos $f \prime\prime$ por encima de él).

Nota: creo que se puede argumentar de manera similar para cada posición $p$ tanto el positivo máximo y el mínimo de los valores negativos en $f$, ya que tanto la voluntad de la fuerza de esta situación para algunos $g$.

Creo que la idea subyacente también funciona para el caso general, pero requiere tomar combinaciones de múltiples posiciones, y permitiendo $g$ que son paralelas a las intersecciones de los planos, y no he logrado encontrar un lugar limpio (y bastante corta) forma de ataque que todavía.