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Arreglos de afín hyperplanes

Fixn>0XRn. Llamar a una función f:XR lineal si es de la forma f(ˉx)=a1x1++anxn+b para algunos ai,bR.

Ahora supongamos que tenemos de las funciones lineales f1,,ft g1,,gt con la siguiente propiedad:

Para todos los i{1,,t}, y para todos los ˉxX,

hay j,k{1,,t} tales que fi(ˉx)gj(ˉx) y fk(ˉx)gi(ˉx).

Es cierto que debe haber alguna i,j{1,,t} tal que fi(ˉx)gj(ˉx) todos los ˉxX?

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biggerScala Puntos 217

Vamos a tratar el caso de n=1.

Supongamos que no es cierto que no existe i,j tal que figj sobre todo X. A continuación, para cada par de i,j podemos optar xijX tal que fi(xij)>gj(xij). Deje a=minb=\max_{i,j}(x_{ij}).

Sobre la numeración de las g_i si es necesario, podemos asumir que g_1(a) es el valor más pequeño de una de las g_i alcanza a a. Por supuesto, existe k tal que f_k(a) \leq g_1(a), y nuestra suposición sobre la [a,b] por encima asegura que f_k(b) > g_1(b) (f_kg_1 se cruzan en [a,b], y líneas que se cruzan en más de una vez). Por lo tanto, no debe existir j tal que f_k(b) \leq g_j(b). De nuevo por la construcción de [a,b] existe \xi \in [a,b) tal que f_k(\xi) > g_j(\xi). En particular, debemos tener g_j(a) < f_k(a) \leq g_1(a), lo que contradice minimality de g_1(a).

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skyking Puntos 126

Yo tenía una idea para acercarse de una manera diferente, y después de luchar contra ella, la tomó de un caso más sencillo, donde cada una de las f o g sólo tiene un elemento que es distinto de cero, en la esperanza de que esto sigue siendo útil y sugiere una ruta de acceso para el caso general.

Para el caso cuando cada una de las f o g sólo tiene un elemento que es distinto de cero (es decir, los planos son 'eje' alineados):

Dado un índice pn, podemos construir un vector \bar v X 1p, de posición y de otra manera 0s, y siguiendo la dirección de la \bar v hay algún punto más allá del cual una función de f` tener el mayor valor negativo en la posición p se convierte en (y sigue siendo) el mínimo de la función f.

Esto nos da una cota inferior para los componentes de la p posición para todas las funciones en g - desde cualquier g que tiene un valor bajo en el p posición caerá por debajo y se mantienen f` en la dirección de \bar v, y rompe así una suposición.

Dirige en la dirección inversa de a \bar v, podemos encontrar un punto en el que el mismo f \prime (o algunos paralelos f\prime\prime por encima de él con la igualdad de mayor componente negativo en la posición p) se convierte en y sigue siendo el máximo de f función. Desde f \prime f \prime\prime compartir el componente en la posición p nos interesa, vamos a tomar el caso en que f \prime es la parte superior de la función, sin pérdida de generalidad.

Ya sabemos que debe haber al menos una función de g \prime que es el tiempo por encima de f \prime y se mantiene por encima de f \prime, en este sentido, la asunción (ya que hay un número finito de g, eventualmente, al menos, uno de los g \prime debe permanecer por encima de f \prime hasta el infinito), sabemos que esto g \prime debe tener un valor en la posición p de no más de que de que de f \prime, ya que de lo contrario se caerá por debajo de f \prime.

Así que ahora tenemos un límite máximo para la posición de p g \prime, y dado que es igual a la mínima obligado tenemos arriba para todos los g en esta posición, tenemos una igualdad para esta posición p (al menos uno) g \prime.

Las conclusiones, a continuación, de la siguiente manera, ya que para cada posición de p, podemos determinar que la función de f \prime a que el valor mínimo de todos los f en esta posición, tiene algo de g \prime paralelo y \ge a (posiblemente también en paralelo y \ge a algunos paralelos f \prime\prime por encima de él).

Nota: creo que se puede argumentar de manera similar para cada posición p tanto el positivo máximo y el mínimo de los valores negativos en f, ya que tanto la voluntad de la fuerza de esta situación para algunos g.

Creo que la idea subyacente también funciona para el caso general, pero requiere tomar combinaciones de múltiples posiciones, y permitiendo g que son paralelas a las intersecciones de los planos, y no he logrado encontrar un lugar limpio (y bastante corta) forma de ataque que todavía.

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