Me preguntaron acerca de una pregunta simple, que es: "¿Cuál es el coeficiente de $x^{18}$$(1+x^5+x^7)^{20}$? En general, sabemos que; $$(x+y+z)^n= \sum_{n_{1}+n_{2}+n_{3}=n}\left(\frac{n!}{n_{1}!n_{2}!n_{3}!}\right)x^{n_{1}} y^{n_{2}}z^{n_{3}} $$ Así, esta pregunta se puede responder fácilmente basada en la fórmula de arriba. Puedo preguntarte, si podemos encontrar otra manera para resolver este problema o no. Gracias por compartir los pensamientos.
Respuestas
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En la solución de los relacionados con la combinatoria problemas, es a menudo más fácil de programar que el polinomio de multiplicación mediante la simple expansión de la regla y, a continuación, de forma iterativa multiplicar para obtener la respuesta, o simplemente utilizar un sistema algebraico por computadora, tales como la salvia, el maple o mathematica. En su caso, la multinomial teorema nos da $$ \left(1+x^5+x^7\right)^{20}=\sum_{n_1+n_2+n_3=20}{20\elegir n_1,n_2,n_3}x^{5n_2+7n_3} $$ por lo que el coeficiente de $x^{18}$ es sólo la cardinalidad de $$ \left\{(n_1,n_2,n_3)\in\mathbb{Z}^3 \mediados de 0\le n_i ,~n_1+n_2+n_3\le20 ,~5n_2+7n_3=18\right\} \,, $$ es decir, el número de maneras de escribir $18$ como una suma de hasta veinte $5$s y $7$s, que es lo que yo estaba llamando a los relacionados con la combinatoria problema. En este caso, el coeficiente es igual a cero debido a que $18$ no puede ser escrita como una suma de $5$s y $7$s -- uno de $12$ ($=\frac{(5-1)(7-1)}{2}$ siendo el género numérica de la semigroup $\left<5,7\right>$) enteros positivos.
Por ejemplo, en sage, puede resolver esto de manera muy simple:
R.<t> = ZZ['t']
p = (1+t^5+t^7)^20
p[18]
¿Usted realmente quiere encontrar otra manera?
Anthony Cramp
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126
OK te pide algo diferente. Resulta que esto no es muy práctico. Su coeficiente es $$ \frac{1}{2\pi i}\oint_C \frac{(1+z^5+z^7)^{20}}{z^{19}}\,dz $$ donde $C$ es una curva en el plano complejo que rodea a $0$ una vez en la dirección positiva. Si utilizamos el círculo unidad con parámetros como $\exp(i t)$$0 \le t \le 2\pi$, esto se convierte en $$ \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\left(1+ e^{i 5 t}+e^{i 7 t}\right)^{20}e^{-i 18 t}\,dt . $$ De hecho Arce calcula esta casi al instante como $0$, pero presumiblemente multiplicando el trinomio, que es lo que se supone que debemos evitar.
Podemos intentar una aproximación numérica de la evaluación de la integral, y utilice el hecho de que es un número entero, así que sólo tenemos que conseguir dentro de $0.5$ de la respuesta. Pero en realidad lo que va a significar el uso de alrededor de 500 intervalos en Simplson del Método, ya que nuestro integrando es bastante oscilatorio.
Sólo por diversión, aquí está una compleja trama de $1+ e^{i 5 t}+e^{i 7 t}$ with $0 \le t \le 2\pi$:
Nuestro integrando obtiene tan grande como $3^{20}$ en valor absoluto...
Lissome
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31
En realidad no demasiado diferente de la solución estándar, pero aquí es una idea: sólo Se puede usar el teorema del binomio:
$$(1+x^5+x^7)^{20}=\sum_{k=0}^{20} \binom{20}{k} 1^{20-k}(x^5+x^7)^k=\sum_{k=0}^{20} \binom{20}{k} x^{5k}(1+x^2)^k$$
Ahora, usted puede ignorar los términos de $k \geq 4$, debido a $x$ aparece a una potencia de al menos 20. También puede omitir el caso de $k \leq 2$ porque $x$ aparecerá a una potencia en la mayoría de las $7*k <18$.
Por lo tanto, el coeficiente de $x^{18}$ $(1+x^5+x^7)^{20}$ es exactamente el coeficiente de $x^{18}$$\binom{20}{3} x^{15}(1+x^2)^3 $.
