Cómo probar que el problema no puede ser resuelto por las cuatro Operaciones Aritméticas?

Question

El original prolbem es como en la figura:

Supongamos que el cuadrado tiene lado de la unidad de longitud, hallar el área de la región azul.

La solución exacta es: $$\begin{aligned}S=&\frac{\pi-\sqrt{7}}{4}+2 \arccos\left(\frac{5\sqrt{2}}{8}\right)-\frac{1}{4}\arccos\left(-\frac{3}{4}\right)\\ \approx& 0.49263564433675266\end{aligned}$$

Desde las áreas de la circunferencia inscrita y la tangente secciones son números racionales veces $\pi$, supongo que la solución exacta no puede ser obtenido por las cuatro operaciones aritméticas entre $\pi$ y números racionales (es decir, uno tiene que utilizar métodos más avanzados, por ejemplo, integral, coseno teorema de los triángulos y así sucesivamente, que la primaria, matemáticas).

El problema aquí, por tanto, se puede convertir en:
$$2 \arccos\left(\frac{5\sqrt{2}}{8}\right)-\frac{1}{4}\arccos\left(-\frac{3}{4}\right)-\frac{\sqrt{7}}{4}$$ no puede ser representado por $\pi$ y los números racionales a través de la suma, la resta, la multiplicación y la división.

Pero, ¿cómo demostrarlo?

Answer 1

En la figura 1, G es la intersección de los círculos $C_1: x^2 + y^2 = (2s)^2$$C_2: (x – s)^2 + (y – s)^2 = s^2$.

Para algunos $k$, $C_3 : C_1 + kC_2 = 0$ es una familia de círculos que pasa a través de (G y G').

Para un adecuado k, se puede generar el círculo de $C_3 : (x – 2s)^2 + (y – 2s)^2 = (\sqrt (2)s)^2$, que tiene centro en $C(2s, 2s)$ y radio de $= \sqrt (2)s$. G también está en este círculo y, por tanto,$CG = \sqrt (2)s$.

Además, todos los siguientes se pueden encontrar:-

(1) el área de ⊿AGC (con lados de $2s, \sqrt (2)s, 2\sqrt (2)s$);

(2) los ángulos $GCE, GAH, GEC, GEK, GEJ, GAB, BAG$ todo puede ser calculado; y

(3) áreas de los sectores $ABG$, e $GAH$.

Mover en la figura 2. Se muestra cómo la púrpura de la región se pueden encontrar.

Por lo tanto, las áreas de las dos de color púrpura en forma de mariposa regiones se puede encontrar. (Véase la figura 3 a continuación).

También en la figura 3, el área de los dos de color marrón mariposa regiones se puede encontrar.

Resumiendo los diferentes colores de la mariposa regiones dará la región azul como sea necesario.