Encontrar $ \lim_{n \rightarrow \infty} \left(n \int^{\frac{\pi}{4}}_0 (\cos(x)-\sin(x))^n \right)$

Question

Encontrar $$ \lim_{n \rightarrow \infty} \left(n \int^{\frac{\pi}{4}}_0 (\cos(x)-\sin(x))^n \right)$$

He logrado demostrar que el límite está en $(0,1]$ y creo que es $1$ pero no sé cómo demostrarlo. ¿Podría usted ayudarme?

Answer 1

El uso de $\cos x = \sin(\pi/2 - x)$$\sin A - \sin B = 2\cos (\frac{A+B}2)\sin (\frac{A-B}2)$, tenemos $$ \cos x - \sin x = \sqrt 2 \sin(\frac{\pi}4 - x).$$ A partir de esto, hemos $$ \int_0^{\frac{\pi}4} (\cos x - \sin x)^n dx = 2^{n/2} \int_0^{\frac{\pi}4} \sin^n (\frac{\pi}4 - x) dx= 2^{n/2}\int_0^{\frac{\pi}4} \sin^n x dx := 2^{n/2} I_n . $$ Deje $J_n = n 2^{n/2} I_n$. Entonces por la fórmula de reducción, tenemos $$ J_n = -1 + \frac{2(n-1)}{n-2}J_{n-2}. $$ Entonces $$ J_n-1 = \frac 2{n-2} + 2(1+\frac 1{n-2} ) (J_{n-2} -1) . $$ Es fácil comprobar que $J_n$ es acotado, por lo $J_n-1$ es también limitada. Tomando $\limsup$ a la derecha, tenemos para $\alpha = \limsup (J_n-1)$, $$ \alpha\geq 2\alpha. $$ A continuación, tome $\limsup$ a la izquierda, tenemos $$ \alpha \leq 2\alpha. $$ Por lo tanto, $\alpha = 2\alpha = 0$. Asimismo, para $\liminf$, obtenemos $\liminf (J_n-1) = 0$. Por lo tanto,$\lim J_n = 1$.

Esto demuestra que $$ \lim_{n\rightarrow\infty} n \int_0^{\frac{\pi}4} (\cos x - \sin x )^n dx = 1. $$